Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2014 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых неравенство

14 \cos x - |5 \cos x + a^2 - 44| - |4 \cos x + a - 3| + |a^2 + a - 56| + 14 \ge 0

выполнено для всех значений

x

Решение

Пусть

t=\cos x

t\in [-1;1]

. Тогда неравенство примет вид

14t-|5t + a^2 - 44| - |4t + a - 3| + |a^2 + a - 56| + 14 \ge 0.

Пусть

f(t)=14t-|5t + a^2 - 44| - |4t + a - 3| + |a^2 + a - 56| + 14

.
Эта функция является кусочно-линейной, при этом угловой коэффициент

k

каждого линейного участка удовлетворяет условию

k\ge 14-5-4=5

. Следовательно,

f(t)

возрастающая функция.
Для того, чтобы исходное неравенство было выполнено для всех

x

, неравенство

f(t)\ge0

должно быть выполнено при всех

t

из отрезка

[-1;1]

. Это выполняется при условии

f(-1)\ge0

f(-1)=-14-|-5 + a^2 - 44| - |-4 + a - 3| + |a^2 + a - 56| + 14.\\-|a^2 - 49| - |a - 7| + |a^2 + a - 56|\ge0;\\|(a+8)(a-7)|-|(a-7)(a+7)| - |a-7|\ge0;\\|a-7|\cdot(|a+8|-|a+7| - 1)\ge0;

\left [\begin{gathered} |a-7|=0, \\ |a+8|-|a+7| - 1\ge0; \\\end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} a=7, \\ |a+8|-|a+7| - 1\ge0. \\\end{gathered}\right.

Раскроем модули по определению для решения неравенства, для этого воспользуемся числовой прямой. Отметим на ней нули подмодульных выражений и их знаки на полученных промежутках.

$Изображение 1$

a\le-8

-a-8+a+7-1\ge0, \quad -2\ge 0, \quad \text{решений нет}.

-8< a\le-7

a+8+a+7-1\ge0, \quad 2a+14\ge 0, \quad a\ge-7;

$Изображение 2$

Учитывая рассматриваемый промежуток

-8< a\le-7

, получаем, что

a=-7

.

3)

a>-7

a+8-a-7-1\ge0, \quad 0\ge 0, \quad a\in\mathbb{R}.

Учитывая рассматриваемый промежуток

a>-7

, получаем, что

\in (-7;+\infty)

.
Объединяя все случаи, получаем, что

a\in [-7; +\infty)

.
Ответ:

a\in [-7; +\infty)

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи