Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
14cosx−∣5cosx+a2−44∣−∣4cosx+a−3∣+∣a2+a−56∣+14≥0 выполнено для всех значений x.
Решение
Пусть t=cosx,t∈[−1;1]. Тогда неравенство примет вид
14t−∣5t+a2−44∣−∣4t+a−3∣+∣a2+a−56∣+14≥0. Пусть f(t)=14t−∣5t+a2−44∣−∣4t+a−3∣+∣a2+a−56∣+14. Эта функция является кусочно-линейной, при этом угловой коэффициент k каждого линейного участка удовлетворяет условию k≥14−5−4=5. Следовательно, f(t) возрастающая функция.
Для того, чтобы исходное неравенство было выполнено для всех x, неравенство f(t)≥0 должно быть выполнено при всех t из отрезка [−1;1]. Это выполняется при условии f(−1)≥0: f(−1)=−14−∣−5+a2−44∣−∣−4+a−3∣+∣a2+a−56∣+14.−∣a2−49∣−∣a−7∣+∣a2+a−56∣≥0;∣(a+8)(a−7)∣−∣(a−7)(a+7)∣−∣a−7∣≥0;∣a−7∣⋅(∣a+8∣−∣a+7∣−1)≥0; [∣a−7∣=0,∣a+8∣−∣a+7∣−1≥0;[a=7,∣a+8∣−∣a+7∣−1≥0. Раскроем модули по определению для решения неравенства, для этого воспользуемся числовой прямой. Отметим на ней нули подмодульных выражений и их знаки на полученных промежутках.
