На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, больших 5, каждое из которых не превосходит 45. После чего все числа на доске уменьшили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 5, с доски стёрли.
a) Могло ли среднее арифметическое всех оставшихся на доске чисел увеличиться?
б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 32, а потом стало равно 39?
в) Чему может быть равно наибольшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 32?
Решение
а) Да, если взять 19 чисел 6 и одно число 26.
Тогда старое среднее арифметическое равно 2019⋅6+26=7, а новое -- 25. б) Так как среднее арифметическое всех чисел равно 32, то их сумма равна 20⋅32=640. Пусть x -- количество чисел 6, уменьшенных на 1, а (20−x) -- количество всех остальных чисел, уменьшенных на 1. Тогда
20−x640−6x−(20−x)=39,780−39x=620−5x,34x=160,x∈Z в) Пусть S2 -- новое среднее арифметическое. Аналогично пункту б) получаем, что
S2=20−x640−6x−(20−x)=20−x620−5x=20−x100−5x+520=5+20−x520. Очевидно, что S2⩽44, тогда получаем неравенство:
5+20−x520⩽44,20−x620−5x⩽44,x−205x−620⩽44,x−20−39x+260⩽0,x−203x−20⩾0;
Значение x должно быть целым, поэтому xmax=6. Тогда S2=7295. Приведём пример для x=6: 6 чисел 6, которые уменьшили на 1, 13 чисел 45, которые не уменьшили на 1, и число 19, которое не уменьшили.
Ответ: а) да, б) нет, в) 7295.
