Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026Ященко

Найдите все неотрицательные значения параметра

a

, при каждом из которых множество решений неравенства

1 \le \frac{2a + x^2 - 4 \log_{\frac{1}{3}}(4a^2 - 4a + 9)}{5\sqrt{18x^4 + 7x^2} + 2a + 4 + \log^2_{\frac{1}{3}}(4a^2 - 4a + 9)}

состоит из одной точки. Найдите это решение.

Решение

По условию

a \ge 0

, значит, знаменатель дроби положителен,
домножим на него обе части неравенства:

\log_{\frac{1}{3}}^2(4a^2-4a+9) + 5\sqrt{18x^4+7x^2} + 2a + 4 \le 2a + x^2 - 4\log_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9);\\\left( \log_{\frac{1}{3}}^2(4a^2-4a+9) + 4\log_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9) + 4 \right) + 5\sqrt{18x^4+7x^2} - x^2 \le 0;\\\left( \log_{\frac{1}{3}}(4a^2-4a+9) + 2 \right)^2 + 5\sqrt{18x^4+7x^2} - x^2 \le 0.

Так как

x

входит в неравенство только в чётных
степенях, то тогда если

x_0

— решение неравенства, то

-x_0

— также решение. Следовательно, для того, чтобы решение состояло только из одной точки, эта точка должна быть

x = 0

.
Найдём при каких

a

x=0

является решением неравенства:

\begin{gathered}\left( \log_{\frac{1}{3}} (4a^2-4a+9)+2 \right)^2 + 5\sqrt{0} - 0 \le 0;\\\left( \log_{\frac{1}{3}} (4a^2-4a+9)+2 \right)^2 \le 0; \\\log_{\frac{1}{3}} (4a^2-4a+9)+2 = 0; \\\log_3 (4a^2-4a+9) = 2; \\4a^2-4a+9 = 9; \\4a^2-4a = 0; \\4a(a-1) = 0; \\a = 0 \text{ или } a = 1.\end{gathered}

При

a = 0

и при

a = 1

x = 0

— решение. Проверим, что эта точка единственное решение.

I.

a = 0

\left( \log_{\frac{1}{3}} (4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 9) + 2 \right)^2 + 5\sqrt{18x^4 + 7x^2} - x^2 \leq 0;\\\left( \log_{\frac{1}{3}} 9 + 2 \right)^2 + 5 \sqrt{18x^4 + 7x^2} \le x^2; \\5 \sqrt{18x^4 + 7x^2} \le x^2.

Обе части неравенства неотрицательны, возведём в квадрат

\begin{cases}25 \cdot (18x^4 + 7x^2) \le x^4, \\18x^4 + 7x^2 \ge 0;\end{cases}\quad\begin{cases}449x^4 + 175x^2 \le 0, \\x^2(18x^2 + 7) \ge 0;\end{cases}

\begin{cases}x^2(449x^2 + 175) \le 0, \quad |: \ 449x^2 + 175 > 0 \\x^2(18x^2 + 7) \ge 0; \qquad \ \ |: \ 18x^2 + 7 > 0\end{cases}

\begin{cases}x^2 \le 0, \\x^2 \ge 0;\end{cases}\quad \begin{cases}x = 0, \\x \in \mathbb{R};\end{cases}\quad x = 0 \text{ — единственное решение.}

II.

a = 1

\left( \log_{\frac{1}{3}} (4 - 4 + 9) + 2 \right)^2 + 5 \sqrt{18x^4 + 7x^2} - x^2 \le 0;

0 + 5 \sqrt{18x^4 + 7x^2} \le x^2.

Получим неравенство такое же как при

a=0

, у него действительно решением является одна точка

x=0.

Ответ:

a\in \{0;1\}, \ x=0

;

Похожие задачи