Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ФИПИ
Скопировать ссылку
49b63452
Решите неравенство
log
8
(
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
)
⩾
log
2
(
x
2
−
1
)
−
5.
\log_8 \left( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \right) \geqslant \log_2 \left( x^2 - 1 \right) - 5.
lo
g
8
(
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
)
⩾
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
5.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Заметим, что
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
=
(
x
−
1
)
3
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
=
(
x
−
1
)
3
.
Найдём ОДЗ:
{
(
x
−
1
)
3
>
0
,
x
2
−
1
>
0.
⇔
{
x
−
1
>
0
,
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
>
0.
⇔
x
>
1.
\begin{cases}
(x-1)^3 > 0,\\
x^2 - 1 > 0.
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
\begin{cases}
x-1 > 0,\\
(x - 1)(x + 1) > 0.
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
x > 1.
{
(
x
−
1
)
3
>
0
,
x
2
−
1
>
0.
⇔
{
x
−
1
>
0
,
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
>
0.
⇔
x
>
1.
Преобразуем левую часть неравенства:
log
8
(
x
−
1
)
3
=
log
2
3
(
x
−
1
)
3
=
1
3
⋅
3
⋅
log
2
(
x
−
1
)
=
log
2
(
x
−
1
)
.
\log_8 (x-1)^3 = \log_{2^3} (x-1)^3 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \log_2(x-1) = \log_2(x-1).
lo
g
8
(
x
−
1
)
3
=
lo
g
2
3
(
x
−
1
)
3
=
3
1
⋅
3
⋅
lo
g
2
(
x
−
1
)
=
lo
g
2
(
x
−
1
)
.
Неравенство принимает вид:
log
2
(
x
−
1
)
⩾
log
2
(
x
2
−
1
)
−
5
;
\log_2(x-1) \geqslant \log_2(x^2 - 1) - 5;
lo
g
2
(
x
−
1
)
⩾
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
5
;
log
2
(
x
−
1
)
⩾
log
2
(
x
2
−
1
)
32
.
\log_2(x-1) \geqslant \log_2 \frac{(x^2 - 1)}{32}.
lo
g
2
(
x
−
1
)
⩾
lo
g
2
32
(
x
2
−
1
)
.
Воспользуемся методом рационализации.
2
>
1
2 > 1
2
>
1
,
поэтому, с учетом ОДЗ получаем:
{
x
−
1
⩾
x
2
−
1
32
,
x
>
1.
\begin{cases}
x - 1 \geqslant \dfrac{x^2 - 1}{32},\\[3mm]
x > 1.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
−
1
⩾
32
x
2
−
1
,
x
>
1.
Решим первое неравенство системы:
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
−
32
(
x
−
1
)
⩽
0
;
(x + 1)(x - 1) - 32(x - 1) \leqslant 0;
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
−
32
(
x
−
1
)
⩽
0
;
(
x
−
1
)
(
x
−
31
)
⩽
0
;
∣
:
(
x
−
1
)
>
0
(x - 1)(x - 31) \leqslant 0;\;|: (x - 1) > 0
(
x
−
1
)
(
x
−
31
)
⩽
0
;
∣
:
(
x
−
1
)
>
0
x
⩽
31.
x \leqslant 31.
x
⩽
31.
С учётом ограничений получаем окончательный ответ:
(
1
;
31
]
(1;31]
(
1
;
31
]
.
Ответ:
(
1
;
31
]
(1;31]
(
1
;
31
]
.
