Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x3+2(a+3)x2+12ax=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
x(x2+2(a+3)x+12a)=0;x=0,x2+2(a+3)x+12a=0; По теореме, обратной т. Виета:
{x1⋅x2=12a=−2a⋅(−6),x1+x2=−2(a+3)=−2a−6;{x1=−2a,x2=−6. Таким образом, корни уравнения 0;−2a;−6.
Для того, чтобы уравнение имело ровно 2 корня, два корня из трёх должны совпадать.
Рассмотрим совпадение корней:
1)0=−2a,a=0; 2)0=−6,∅; 3)−2a=−6,a=3. Все три корня совпасть не могут, поэтому a∈{0;3}.
