Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2+13∣x∣+54x2+9=3a+3∣4x−3a∣ имеет хотя бы один корень.
Решение
Запишем уравнение в виде: a2+54x2+9−3a=3∣4x−3a∣−13∣x∣. x2≥0,4x2≥0,4x2+9≥9,54x2+9≥15. Тогда получаем, что левая часть уравнения
при x=0 принимает наименьшее значение a2+15−3a. Рассмотрим правую часть.
f(x)=3∣4x−3a∣−13∣x∣, коэффициент 13 больше чем 12, значит, второй модуль будет оказывать большее влияние на характер функции. Раскроем его по определению.
Если x≥0, то f(x)=∣12x−9a∣−13x. Заметим, что с каким бы знаком мы не раскрыли первый модуль, мы получим убывающую линейную функцию с коэффициентом или −25, или −1. Значит, при x≥0f(x) убывает.
Если x<0, то f(x)=∣12x−9a∣+13x -- возрастающая линейная функция при любом знаке раскрытия первого модуля (коэффициент или 25, или 1). То есть, при x<0f(x) возрастает.
Следовательно, x=0 -- точка максимума.
fmax=f(0)=3∣4⋅0−3a∣−13∣0∣=9∣a∣. То есть при x=0 левая часть принимает наименьшее значение, а правая -- наибольшее, значит, чтобы уравнение имело решение, нужно, чтобы наименьшее значение левой части было не больше наибольшего правой, то есть
a2+15−3a≤9∣a∣. Решим полученное неравенство:
[{a≥0,a2+15−3a≤9a,{a<0,a2+15−3a≤−9a;{a≥0,a2−12a+15≤0,(1){a<0,a2+6a+15≤0.(2) (1)a2−12a+15≤0;a2−12a+15=0;D=144−60=84; a1,2=212±221=6±21.
a∈[6−21;6+21].
Пересечём с условием a≥0, для этого сравним начало промежутка с нулём:
21<36=6;6−21>0. Значит, a∈[6−21;6+21]. (2)a2+6a+15≤0;a2+6a+15=0;D=36−60=−24<0. Так как первый коэффициент равен 1 > 0, то левая часть неравенства положительна при всех a. Значит, решений нет.
