Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026Ященко

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

a^2 + 13|x| + 5\sqrt{4x^2 + 9} = 3a + 3|4x - 3a|

имеет хотя бы один корень.

Решение

Запишем уравнение в виде:

a^2 + 5\sqrt{4x^2+9} - 3a = 3|4x - 3a| - 13|x|

x^2 \ge 0, \ 4x^2 \ge 0, \ 4x^2+9 \ge 9, \ 5\sqrt{4x^2+9} \ge 15

. Тогда получаем, что левая часть уравнения
при

x = 0

принимает наименьшее значение

a^2 + 15 - 3a

.
Рассмотрим правую часть.

f(x) = 3|4x - 3a| - 13|x|

, коэффициент 13 больше чем 12, значит, второй модуль будет оказывать большее влияние на характер функции. Раскроем его по определению.
Если

x \ge 0

, то

f(x) = |12x - 9a| - 13x

.
Заметим, что с каким бы знаком мы не раскрыли первый модуль, мы получим убывающую линейную функцию с коэффициентом или

-25

, или

-1

.
Значит, при

x \ge 0

f(x)

убывает.
Если

x < 0

, то

f(x) = |12x - 9a| + 13x

-- возрастающая линейная функция при любом знаке раскрытия первого модуля (коэффициент или

25

, или

1

). То есть, при

x < 0

f(x)

возрастает.
Следовательно,

x = 0

-- точка максимума.

f_{\max} = f(0) = 3|4 \cdot 0 - 3a| - 13|0| = 9|a|.

То есть при

x = 0

левая часть принимает наименьшее значение, а правая — наибольшее, значит, чтобы уравнение имело решение, нужно, чтобы наименьшее значение левой части было не больше наибольшего правой, то есть

a^2 + 15 - 3a \le 9|a|.

Решим полученное неравенство:

\left[ \begin{aligned}& \begin{cases} a \ge 0, \\ a^2+15-3a \le 9a, \end{cases} & \begin{cases} a < 0, \\ a^2+15-3a \le -9a; \end{cases}\end{aligned} \right.\quad\left[ \begin{aligned}& \begin{cases} a \ge 0, \\ a^2 - 12a + 15 \le 0, \, (1) \end{cases} \\& \begin{cases} a < 0, \\ a^2 + 6a + 15 \le 0. \, (2) \end{cases}\end{aligned} \right.

(1) \quad a^2 - 12a + 15 \le 0;\\a^2 - 12a + 15 = 0; \\D = 144 - 60 = 84;

a_{1,2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 6 \pm \sqrt{21}.

a \in [6 - \sqrt{21} ; 6 + \sqrt{21}].

Пересечём с условием

a \ge 0

, для этого сравним начало промежутка с нулём:

\sqrt{21} < \sqrt{36} = 6;\\ 6 - \sqrt{21} > 0.

Значит,

a \in [6 - \sqrt{21}; 6 + \sqrt{21}]

(2) \quad a^2 + 6a + 15 \le 0 ;\\a^2 + 6a + 15 = 0 ;\\D = 36 - 60 = -24 < 0.

Так как первый коэффициент равен 1 > 0, то левая часть неравенства положительна при всех

a

. Значит, решений нет.

Ответ:

a \in [6 - \sqrt{21}; 6 + \sqrt{21}]

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи