Постройте график функции y=−x2−3x+3∣x+2∣−2. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+2=0⇒x=−2.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<−2. Получаем y=−x2−6x−8.
Случай 2: x⩾−2. Получаем y=4−x2.
Таким образом: y={−x2−6x−8,4−x2,x<−2,x⩾−2. Вершина левой ветви: (−3;1), вершина правой ветви: (0;4). Таблица значений для левой ветви:
x:−4,−3,−2 y:0,1,0
Таблица значений для правой ветви:
x:−2,−1,0,1 y:0,3,4,3
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{1}.
