Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x2+6x+9−a24x2−a2=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Уравнение равносильно системе:
{4x2−a2=0,x2+6x+9−a2=0. Решим первое уравнение:
4x2=a2⇒x2=4a2⇒x=±2a. Второе условие:
x2+6x+9=a2⇒(x+3)2=a2⇒x+3=aиx+3=−a. То есть x=a−3 и x=−a−3.
Исходное уравнение имеет два корня, если корни числителя не совпадают и не равны корням знаменателя.
Корни числителя совпадают при a=0. Рассмотрим случаи, когда корни числителя совпадают с корнями знаменателя:
1)
2a=a−3⇒a=6; 2)
2a=−a−3⇒a=−2; 3)
−2a=a−3⇒a=2; 4)
−2a=−a−3⇒a=−6.
