Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
466b16c7
Найдите наибольшее значение функции
y
=
ln
(
x
+
9
)
5
−
5
x
y = \ln{(x + 9)^5} - 5x
y
=
ln
(
x
+
9
)
5
−
5
x
на отрезке
[
−
8,5
;
0
]
[-8{,}5; 0]
[
−
8
,
5
;
0
]
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Функция
y
y
y
определена при
x
>
−
9
x > -9
x
>
−
9
.
Отрезок
[
−
8,5
;
0
]
[-8{,}5; 0]
[
−
8
,
5
;
0
]
входит в область определения.
Упростим функцию:
y
=
5
(
ln
(
x
+
9
)
−
x
)
.
y = 5(\ln{(x + 9)} - x).
y
=
5
(
ln
(
x
+
9
)
−
x
)
.
Найдём производную:
y
′
=
5
x
+
9
−
5.
y' = \dfrac{5}{x + 9} - 5.
y
′
=
x
+
9
5
−
5.
Найдём нули производной:
5
x
+
9
−
5
=
0
;
\dfrac{5}{x + 9} - 5 = 0;
x
+
9
5
−
5
=
0
;
5
−
5
(
x
+
9
)
x
+
9
=
0
;
\dfrac{5 - 5(x + 9)}{x + 9} = 0;
x
+
9
5
−
5
(
x
+
9
)
=
0
;
−
40
−
5
x
x
+
9
=
0
;
\dfrac{-40 - 5x}{x + 9} = 0;
x
+
9
−
40
−
5
x
=
0
;
x
=
−
8.
x = -8.
x
=
−
8.
Заметим, что
−
8,5
<
−
8
<
0.
-8{,}5 < -8 < 0.
−
8
,
5
<
−
8
<
0.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
y
′
(
−
7
)
=
2,5
−
5
=
−
2,5
<
0
y'\left(-7\right) = 2{,}5 - 5 = -2{,}5 < 0
y
′
(
−
7
)
=
2
,
5
−
5
=
−
2
,
5
<
0
,
поэтому производная меняет знак с «+» на «–» в точке
x
=
−
8
x = -8
x
=
−
8
.
Значит, это точка максимума.
Таким образом, функция
y
y
y
достигает наибольшего значения на отрезке
[
−
8,5
;
0
]
[-8{,}5; 0]
[
−
8
,
5
;
0
]
в точке
−
8
-8
−
8
:
y
(
−
8
)
=
5
(
ln
(
−
8
+
9
)
−
(
−
8
)
)
=
40.
y\left(-8\right) = 5(\ln{(-8 + 9)} - (-8)) = 40.
y
(
−
8
)
=
5
(
ln
(
−
8
+
9
)
−
(
−
8
))
=
40.
Ответ:
40
40
40
.
