Логарифмические уравнения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Простейшие уравнения

ЕГКР 06.04.2023

Решите уравнение

\log _5 \dfrac{x}{2}=\log _{0,2}(x+1)

. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ:

Решение

Решим уравнение:

\log_5 \frac{x}{2} = \log_{0,2}(x+1).

Логарифм определён только для положительных аргументов, поэтому:

\frac{x}{2} > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0,

x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1.

Значит, ОДЗ:

x > 0

.

Заметим, что

0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}

. Тогда:

\log_{0,2}(x+1) = \log_{5^{-1}}(x+1).

По свойству логарифма

\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b

, при

k = -1

\log_{5^{-1}}(x+1) = \frac{1}{-1}\log_5(x+1) = -\log_5(x+1).

Уравнение принимает вид:

\log_5 \frac{x}{2} = -\log_5(x+1).

Используем свойство

-\log_a b = \log_a \frac{1}{b}

-\log_5(x+1) = \log_5 \frac{1}{x+1}.

Теперь:

\log_5 \frac{x}{2} = \log_5 \frac{1}{x+1}.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

\frac{x}{2} = \frac{1}{x+1}.

Умножаем обе части на

2(x+1)

x(x+1) = 2.

Раскрываем скобки:

x^2 + x = 2,

x^2 + x - 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,

x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.

Проверяем ОДЗ (

x > 0

x = -2

не подходит,

x = 1

подходит.

Ответ:

1

Похожие задачи