Заметим, что2x4−8x3+8x2=2x2(x2−4x+4)=2x2(x−2)2,x2+x−6=(x−2)(x+3),тогда первое слагаемое примет видx2+x−62x4−8x3+8x2=(x−2)(x+3)2x2(x−2)2=x+32x2(x−2).Таким образом, исходное неравенство равносильно следующей системе⎩⎨⎧x+32x2(x−2)−x+3x3−2x2−2x−7≥1,x=2.⇔⎩⎨⎧x+32x3−4x2−x3+2x2+2x+7≥1,x=2.Отдельно рассмотрим первое неравенство системы. После приведения подобных слагаемых и приведения к общему знаменателю получаемx+3x3−2x2+2x+7−x−3≥0;x+3x3−2x2+x+4≥0.Заметим, что x=−1 является корнем уравнения x3−2x2+x+4=0. Тогда выполним деление в столбик:
Таким образом, x3−2x2+x+4=(x+1)(x2−3x+4). Попробуем разложить x2−3x+4 на множители. Для этого решим уравнение x2−3x+4=0: дискриминант отрицателен, ветви параболы направлены вверх, следовательно, выражение x2−3x+4>0 при любых x. Тогда поделим обе части неравенства на это выражениеx+3x+1≥0.Воспользуемся методом интервалов для решения полученного неравенства:
С учётом x=2 получаем итоговый ответx∈(−∞;−3)∪[−1;2)∪(2;+∞).Ответ: (−∞;−3)∪[−1;2)∪(2;+∞).
