Заметим, что
2x4−8x3+8x2=2x2(x2−4x+4)=2x2(x−2)2,x2+x−6=(x−2)(x+3), тогда первое слагаемое примет вид
x2+x−62x4−8x3+8x2=(x−2)(x+3)2x2(x−2)2=x+32x2(x−2). Таким образом, исходное неравенство равносильно следующей системе
⎩⎨⎧x+32x2(x−2)−x+3x3−2x2−2x−7≥1,x=2.⇔⎩⎨⎧x+32x3−4x2−x3+2x2+2x+7≥1,x=2. Отдельно рассмотрим первое неравенство системы. После приведения подобных слагаемых и приведения к общему знаменателю получаем
x+3x3−2x2+2x+7−x−3≥0; x+3x3−2x2+x+4≥0. Заметим, что x=−1 является корнем уравнения x3−2x2+x+4=0. Тогда выполним деление в столбик:
Таким образом, x3−2x2+x+4=(x+1)(x2−3x+4). Попробуем разложить x2−3x+4 на множители. Для этого решим уравнение x2−3x+4=0: дискриминант отрицателен, ветви параболы направлены вверх, следовательно, выражение x2−3x+4>0 при любых x. Тогда поделим обе части неравенства на это выражение
x+3x+1≥0. Воспользуемся методом интервалов для решения полученного неравенства:
С учётом x=2 получаем итоговый ответ
x∈(−∞;−3)∪[−1;2)∪(2;+∞). Ответ: (−∞;−3)∪[−1;2)∪(2;+∞).
