Найдите все значения a, при каждом из… — Параметры — ЕГЭ

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} \left(x^2+y^2+4x\right) \cdot \sqrt{2x+y+6}=0, \\ y=ax-2a \end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(x^2 + y^2 + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0, \\ \sqrt{2x + y + 6} = 0, \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0,\\ 2x + y + 6 = 0, \end{array} \right.\\ 2x + y + 6 \geqslant 0.\\ \end{cases}

Имеем:
1)

x^2 + y^2 + 4x = 0\quad\Rightarrow\quad x^2 + 4x + y^2 = 0\quad\Rightarrow\quad (x + 2)^2 + y^2 = 4.\quad (*)

Это уравнение задаёт окружность с центром в точке

O(-2; 0)

и радиусом

2

.
2) Уравнение

y = -2x - 6

задаёт прямую, проходящую через точку

(-2; -2)

, с угловым коэффициентом

-2

. Неравенство

y \geqslant -2x - 6

задаёт полуплоскость выше прямой

y= -2x - 6

, включая границу.
3) Уравнение

y = a(x - 2)

задаёт пучок прямых (не включая прямую

x = 2

), проходящих через точку

(2;0)

.

Если выполнено уравнение

y = -2x - 6

, то условие

y \geqslant -2x - 6

выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 4,\\ y = a(x - 2),\\ y \geqslant -2x - 6; \end{cases} \;(1) \\ &\begin{cases} y = -2x - 6,\\ y = a(x - 2). \end{cases} \quad\quad\;(2) \end{aligned} \right.

Рассмотрим систему (2). Прямые

y = -2x - 6

y = a(x - 2)

при всех

a

, кроме

-2

(случай параллельности прямых). Таким образом, система (2) имеет одно решение при всех

a

, кроме

a = -2

Найдём точки пересечения прямой

y = -2x - 6

и окружности (*):

(x - 2)^2 + (2x + 6)^2 = 4\quad\Rightarrow\quad 5x^2 + 28x + 36=0;

D = 28^2 - 4\cdot 5\cdot 36 = 64 = 8^2;

x_{1} = \dfrac{-28 - 8}{10} = -\frac{18}{5},\quad x_{2} = \dfrac{-28 + 8}{10} = -2.

При

x_1 = -\dfrac{18}{5}

получаем

y_1 = -2\cdot\left(-\dfrac{18}{5}\right) - 6 = -\dfrac{6}{5}.

При

x_2 = -2

получаем:

y_2 = -2\cdot\left(-2\right) - 6 = -2.

Следовательно, пересечение происходит в точках

(-2; -2)

\left(-\dfrac{18}{5}; -\dfrac{6}{5}\right)

.

(I) и (II) Найдем значения параметра

a

, при которых прямая

y = a(x-2)

касается окружности (*). Запишем уравнение прямой в общем виде:

\ell : ax - y - 2a = 0.

Прямая касается окружности в том и только том случае, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

По формуле расстояния от точки до прямой получаем:

d(O, \ell) = \frac{|a \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 - 2a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2a - 2a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|-4a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{4|a|}{\sqrt{a^2 + 1}}.

Условие касания:

\frac{4|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \quad \Rightarrow \quad 4|a| = 2\sqrt{a^2 + 1} \quad \Rightarrow \quad 2|a| = \sqrt{a^2 + 1}; \\ 4a^2 = a^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad 3a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Таким образом, прямая касается окружности при

a = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad a = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}

.

(III) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = a(x - 2)

проходит через точку

(-2; -2)

-2 = a(-2 - 2)\quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{1}{2}.

(IV) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = a(x - 2)

проходит через точку

\left(-\dfrac{18}{5}; -\dfrac{6}{5}\right)

-\dfrac{6}{5} = a\left(-\dfrac{18}{5} - 2\right)\quad\Rightarrow\quad -\dfrac{6}{5} = -\dfrac{28}{5}a \quad\Rightarrow\quad a = -\dfrac{3}{14}.

Итого, получаем:
1) при

a \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty\right)

имеет не более одного решения;
2) при

a\in \left( -\dfrac{1}{\sqrt{3}}; -\dfrac{3}{14} \right)\cup \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

система имеет

3

решения;
3) при

a \in \left\{\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\} \cup \left[ -\dfrac{3}{14}; \dfrac{1}{2} \right]

система имеет

2

решения;

Ответ:

\left\{\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\} \cup \left[ -\dfrac{3}{14}; \dfrac{1}{2} \right]

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} \left(x^2+y^2+4x\right) \cdot \sqrt{2x+y+6}=0, \\ y=ax-2a \end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(x^2 + y^2 + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0, \\ \sqrt{2x + y + 6} = 0, \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0,\\ 2x + y + 6 = 0, \end{array} \right.\\ 2x + y + 6 \geqslant 0.\\ \end{cases}

Имеем:
1)

x^2 + y^2 + 4x = 0\quad\Rightarrow\quad x^2 + 4x + y^2 = 0\quad\Rightarrow\quad (x + 2)^2 + y^2 = 4.\quad (*)

Это уравнение задаёт окружность с центром в точке

O(-2; 0)

и радиусом

2

.
2) Уравнение

y = -2x - 6

задаёт прямую, проходящую через точку

(-2; -2)

, с угловым коэффициентом

-2

. Неравенство

y \geqslant -2x - 6

задаёт полуплоскость выше прямой

y= -2x - 6

, включая границу.
3) Уравнение

y = a(x - 2)

задаёт пучок прямых (не включая прямую

x = 2

), проходящих через точку

(2;0)

.

Если выполнено уравнение

y = -2x - 6

, то условие

y \geqslant -2x - 6

выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 4,\\ y = a(x - 2),\\ y \geqslant -2x - 6; \end{cases} \;(1) \\ &\begin{cases} y = -2x - 6,\\ y = a(x - 2). \end{cases} \quad\quad\;(2) \end{aligned} \right.

Рассмотрим систему (2). Прямые

y = -2x - 6

y = a(x - 2)

при всех

a

, кроме

-2

(случай параллельности прямых). Таким образом, система (2) имеет одно решение при всех

a

, кроме

a = -2

Найдём точки пересечения прямой

y = -2x - 6

и окружности (*):

(x - 2)^2 + (2x + 6)^2 = 4\quad\Rightarrow\quad 5x^2 + 28x + 36=0;

D = 28^2 - 4\cdot 5\cdot 36 = 64 = 8^2;

x_{1} = \dfrac{-28 - 8}{10} = -\frac{18}{5},\quad x_{2} = \dfrac{-28 + 8}{10} = -2.

При

x_1 = -\dfrac{18}{5}

получаем

y_1 = -2\cdot\left(-\dfrac{18}{5}\right) - 6 = -\dfrac{6}{5}.

При

x_2 = -2

получаем:

y_2 = -2\cdot\left(-2\right) - 6 = -2.

Следовательно, пересечение происходит в точках

(-2; -2)

\left(-\dfrac{18}{5}; -\dfrac{6}{5}\right)

.

(I) и (II) Найдем значения параметра

a

, при которых прямая

y = a(x-2)

касается окружности (*). Запишем уравнение прямой в общем виде:

\ell : ax - y - 2a = 0.

d(O, \ell) = \frac{|a \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 - 2a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2a - 2a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|-4a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{4|a|}{\sqrt{a^2 + 1}}.

Условие касания:

\frac{4|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \quad \Rightarrow \quad 4|a| = 2\sqrt{a^2 + 1} \quad \Rightarrow \quad 2|a| = \sqrt{a^2 + 1}; \\ 4a^2 = a^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad 3a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Таким образом, прямая касается окружности при

a = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad a = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}

.

(III) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = a(x - 2)

проходит через точку

(-2; -2)

-2 = a(-2 - 2)\quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{1}{2}.

(IV) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = a(x - 2)

проходит через точку

\left(-\dfrac{18}{5}; -\dfrac{6}{5}\right)

-\dfrac{6}{5} = a\left(-\dfrac{18}{5} - 2\right)\quad\Rightarrow\quad -\dfrac{6}{5} = -\dfrac{28}{5}a \quad\Rightarrow\quad a = -\dfrac{3}{14}.

Итого, получаем:
1) при

a \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty\right)

имеет не более одного решения;
2) при

a\in \left( -\dfrac{1}{\sqrt{3}}; -\dfrac{3}{14} \right)\cup \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

система имеет

3

решения;
3) при

a \in \left\{\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\} \cup \left[ -\dfrac{3}{14}; \dfrac{1}{2} \right]

система имеет

2

решения;

Ответ:

\left\{\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\} \cup \left[ -\dfrac{3}{14}; \dfrac{1}{2} \right]