Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений
{∣x∣+∣y∣=a,y=(−x)4−5 имеет ровно два различных решения.
Решение
Запишем область допустимых значений:
−x≥0⇔x≤0. Таким образом, на ОДЗ:
∣x∣=−x;(−x)4=(−x)2=x2. Следовательно, система примет вид:
{−x+∣y∣=a,y=x2−5 Подставим значение y из второго уравнения системы в первое, тогда
−x+∣x2−5∣=a. Рассмотрим два случая:
1) Если x<−5, то a=x2−x−5 --- график парабола с ветвями вверх и вершиной в точке x0=−2⋅1−1=0,5. Также заметим, что a(−5)=5. 2) Если −5≤x≤0, то a=−x2−x+5 --- график парабола с ветвями вниз и вершиной в точке x0=−2⋅(−1)−1=−0,5,a0=−(−0,5)2−(−0,5)+5=5,25. Также заметим, что y(0)=5.
Построим график данного уравнения в координатной плоскости Oxa:
Анализируя график, получаем, что уравнение имеет два решения при
a∈(5;5)∪{5,25}.
