Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1 -го, 2 -го и 3 -го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
Решение
Пусть S — сумма кредита (в млн рублей), S — целое число, x -- выплата. Коэффициент увеличения долга: k=1+10020=1,2. Составим таблицу погашения кредита:
В конце 5-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение:
1,2(1,2S−x)−x=0. Выразим x: 1,44S−1,2x−x=0;1,44S−2,2x=0;x=2,21,44S=220144S=5536S. Общая сумма выплат за все пять лет:
3⋅0,2S+2x=0,6S+2⋅5536S=0,6S+5572S. По условию общая сумма выплат меньше 7 млн рублей:
0,6S+5572S<7; 5533S+5572S<7;1121S<7;21S<77;S<2177; S<332. Наибольшее целое S, удовлетворяющее неравенству, равно S=3. Ответ: 3.
