Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании, SA=15,SB=17,AB=8,BC=15,SD=415. а) Докажите, что SA -- высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC.
Решение
а) Для △SAD выполняется обратная теорема Пифагора:
AD2+AS2=SD2,(15)2+152=(415)2. Следовательно, SA⊥AD. Для △SAB выполняется обратная теорема Пифагора:
AB2+AS2=SB2,82+152=172. Следовательно, SA⊥AB. Получили, что SA⊥AD и SA⊥AB, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости SA⊥(ABD), то есть SA -- высота пирамиды, ч.т.д.
б) В прямоугольном треугольнике SAB проведём высоту AH, тогда AH⊥SB. Так как SA⊥BC и AB⊥BC, то BC⊥(SAB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, AH⊥BC, где AH⊂(SAB). Получили, что AH⊥SB и AH⊥BC, значит, AH⊥(SBC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Откуда следует, что ρ(A;(SBC))=AH. По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла, в треугольнике SAB: AH=SBSA⋅AB=1715⋅8=17120.
Ответ: 17120.
Решение методом координат:
б) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A, ось Ox направим вдоль ребра AD, ось Oy направим вдоль ребра AB, ось Oz направим вдоль ребра AS.
В этой системе отсчёта верны координаты
A(0;0;0);B(0;8;0);C(15;8;0);S(0;0;15). Составим уравнение плоскости (SBC) в виде Ax+By+Cz+D=0: ⎩⎨⎧8B+D=0,15C+D=0,15A+8B+D=0;⎩⎨⎧B=−8D,C=−15D,A=0. Запишем уравнение плоскости (SBC) и преобразуем его:
−8Dy−15Dz+D=0;∣:−120D 15y+8z−120=0. По формуле расстояния от точки до плоскости получим
ρ(A;(SBC))=02+152+82∣0⋅0+15⋅0+8⋅0−120∣=17120.
