Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияСтатГрад 22.04.2026

В правильной треугольной призме

ABCA_1B_1C_1

через вершины

A_1

B_1

и середину ребра

BC

проведена плоскость

\alpha

.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью

\alpha

будет трапеция.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью

\alpha

, если боковое ребро призмы равно 13, а сторона основания равна 12.

Решение

а) Пусть

K

-

середина ребра

BC

. Плоскости

(A_1B_1C_1)

(ABC)

параллельны, значит, секущая плоскость

(A_1B_1K)

пересекает их по параллельным прямым. Проведём

KL\parallel A_1B_1, L\in AC.

Значит,

KLA_1B_1

-- искомое сечение.

KL

-- средняя линия

\triangle ABC

, тогда

KL

равна половине

AB

AB=A_1B_1

, значит,

KL< A_1B_1

KLA_1B_1

-

трапеция.
б)

\triangle AA_1L=\triangle KBB_1

по двум катетам

(AA_1=BB_1, \ AL=KB)

, значит,

KB_1=LA_1

KLA_1B_1

-

равнобедренная трапеция.

AL=\dfrac{1}{2}AC=6, \ AA_1=13, \ KL=\dfrac{1}{2}AB=6.

По теореме Пифагора в треугольнике

AA_1L

получим:

A_1L=\sqrt{AA_1^2+AL^2}=\sqrt{169+36}=\sqrt{205}.

Пусть

LH

KD

-

высоты трапеции

A_1LKB_1

. Тогда

A_1H=DB_1=\dfrac{A_1B_1-KL}{2}=\dfrac{12-6}{2}=3.

По теореме Пифагора в треугольнике

A_1LH

получим:

LH=\sqrt{A_1L^2-AH_1^2}=\sqrt{205-9}=14.

Тогда площадь трапеции

A_1LKB_1

равна

S_{A_1LKB_1}=\dfrac{1}{2}\left(LK+A_1B_1\right)\cdot LH=\dfrac{1}{2}(6+12)\cdot14=126.

Ответ:

126

Похожие задачи