В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 через вершины A1,B1 и середину ребра BC проведена плоскость α. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 13, а сторона основания равна 12.
Решение
а) Пусть K− середина ребра BC. Плоскости (A1B1C1) и (ABC) параллельны, значит, секущая плоскость (A1B1K) пересекает их по параллельным прямым. Проведём KL∥A1B1,L∈AC. Значит, KLA1B1 -- искомое сечение. KL -- средняя линия △ABC, тогда KL равна половине AB,AB=A1B1, значит, KL<A1B1 и KLA1B1− трапеция.
б) △AA1L=△KBB1 по двум катетам (AA1=BB1,AL=KB), значит, KB1=LA1 и KLA1B1− равнобедренная трапеция.
AL=21AC=6,AA1=13,KL=21AB=6. По теореме Пифагора в треугольнике AA1L получим:
A1L=AA12+AL2=169+36=205.
Пусть LH и KD− высоты трапеции A1LKB1. Тогда
A1H=DB1=2A1B1−KL=212−6=3. По теореме Пифагора в треугольнике A1LH получим:
LH=A1L2−AH12=205−9=14. Тогда площадь трапеции A1LKB1 равна
SA1LKB1=21(LK+A1B1)⋅LH=21(6+12)⋅14=126. Ответ: 126.
