По бизнес-плану вкладчик предполагает вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов требуются дополнительные вложения: по 10 млн рублей в первый и второй годы, а также по 15 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 140 млн, а к концу проекта--- больше 220 млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад равен S млн рублей, причём S∈Z.
Так как каждый год сумма увеличивается на 20%, то каждый раз мы умножаем её на 56.
Составим таблицу:
конец I годаконец II годаконец III годаконец IV годаСумма, млнруб.56S+1056(56S+10)+1056(56(56S+10)+10)+1556(56(56(56S+10)+10)+15)+15
По условию к началу третьего года сумма должна стать больше 140 млн рублей, то есть в конце второго года должно выполняться неравенство
56(56S+10)+10>140.
К концу проекта сумма должна стать больше 220 млн рублей, значит,
56(56(56(56S+10)+10)+15)+15>220.
Решим первое неравенство:
56(56S+10)+10>140, 2536S+12+10>140, 2536S+22>140, 2536S>118, 36S>2950, S>362950=813634. Так как S --- целое число, получаем
S⩾82. Теперь рассмотрим второе неравенство:
56(56(56(56S+10)+10)+15)+15>220. 6251296S+25432+572+18+15>220. 6251296S+25432+360+450+375>220, 6251296S+251617>220. 6251296S>220−251617=155258. Заметим, что
6251296>2. Из первого неравенства уже известно, что S⩾82. Проверим минимальное возможное значение S=82: 6251296⋅82>2⋅82=164. Но
164>155258, значит, при S=82 второе неравенство тоже выполняется.
