Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2+(a−6)2=∣x−a+6∣+∣x+a−6∣ имеет единственный корень.
Решение
Пусть x0 - корень уравнения, тогда
x02+(a−6)2=∣x0−a+6∣+∣x0+a−6∣. Подставим −x0 в уравнение
(−x0)2+(a−6)2=∣−x0−a+6∣+∣−x0+a−6∣;x02+(a−6)2=∣−(x0+a−6)∣+∣−(x0−a+6)∣;x02+(a−6)2=∣x0+a−6∣+∣x0−a+6∣. Значит, −x0 тоже корень уравнения.
Получается, что если некоторое число x0 -- корень, то и противоположное по знаку число −x0 -- корень.
Для того, чтобы корень был единственным нужно,
чтобы x0 и −x0 совпадали, то есть x0=0. Найдём при каких a корнем уравнения будет x=0: 02+(a−6)2=∣0−a+6∣+∣0+a−6∣;(a−6)2=2∣a−6∣. Пусть ∣a−6∣=t, тогда так как t2=∣a−6∣2=(a−6)2, получим
t2−2t=0,t(t−2)=0,t=0илиt=2. 1)2)t=0,∣a−6∣=0,a=6.t=2,∣a−6∣=2,a−6=±2,a=8илиa=4.
При a=4,a=6,a=8 у уравнения точно есть корень x=0. Но необходимо проверить, что при этом нет других корней.
I. a=4,x2+(4−6)2=∣x−4+6∣+∣x+4−6∣,x2+4=∣x+2∣+∣x−2∣. Раскроем модули по определению:
1) x<−2:∣x+2∣=−x−2,∣x−2∣=−x+2, тогда
x2+4=−x−2−x+2;x2+2x+4=0,D<0,неткорней. 2) x∈[−2;2]:∣x+2∣=x+2,∣x−2∣=−x+2,тогда x2+4=x+2−x+2;x2=0;x=0,0∈[−2;2]. 3) x>2:∣x+2∣=x+2,∣x−2∣=x−2,тогда x2+4=x+2+x−2;x2−2x+4=0,D<0,неткорней. Следовательно, при a=4 уравнение имеет единственный корень x=0. II. a = 6, тогда
x2+(6−6)2=∣x−6+6∣+∣x+6−6∣;x2=2∣x∣;∣x∣2−2∣x∣=0;∣x∣⋅(∣x∣−2)=0;x=0,x=±2 – 3 корня, неподходит. III. a=8, тогда
x2+(8−6)2=∣x−8+6∣+∣x+8−6∣;x2+4=∣x−2∣+∣x+2∣. Полученное уравнение уже решено при a=4, оно имеет одно решение. Значит, a=8 подходит.
Ответ: 4;8.
