Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2025 (резерв)
Скопировать ссылку
418af4fe
Решите неравенство
117
−
15
⋅
3
x
9
x
−
36
⋅
3
x
+
243
⩾
0
,
5.
\dfrac{117-15\cdot 3^{x}}{9^{x}-36\cdot 3^x+243}\geqslant 0,5.
9
x
−
36
⋅
3
x
+
243
117
−
15
⋅
3
x
⩾
0
,
5.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Пусть
t
=
3
x
t=3^x
t
=
3
x
,
тогда неравенство примет вид:
117
−
15
t
t
2
−
36
t
+
243
−
1
2
⩾
0.
\dfrac{117-15t}{t^2-36t+243}-\dfrac{1}{2}\geqslant 0.
t
2
−
36
t
+
243
117
−
15
t
−
2
1
⩾
0.
Преобразуем неравенство:
234
−
30
t
−
t
2
+
36
t
−
243
2
(
t
2
−
36
t
+
243
)
⩾
0
∣
⋅
(
−
1
)
;
\dfrac{234-30t-t^2+36t-243}{2(t^2-36t+243)}\geqslant 0 \ \big |\cdot (-1);
2
(
t
2
−
36
t
+
243
)
234
−
30
t
−
t
2
+
36
t
−
243
⩾
0
⋅
(
−
1
)
;
t
2
−
6
t
+
9
2
(
t
−
9
)
(
t
−
27
)
⩽
0
∣
⋅
2
;
\dfrac{t^2-6t+9}{2(t-9)(t-27)}\leqslant 0 \ \big |\cdot 2;
2
(
t
−
9
)
(
t
−
27
)
t
2
−
6
t
+
9
⩽
0
⋅
2
;
(
t
−
3
)
2
(
t
−
9
)
(
t
−
27
)
⩽
0.
\dfrac{(t-3)^2}{(t-9)(t-27)}\leqslant 0.
(
t
−
9
)
(
t
−
27
)
(
t
−
3
)
2
⩽
0.
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Получаем:
[
t
=
3
,
9
<
t
<
27
;
\left[
\begin{gathered}
t=3, \\
9 < t < 27;
\end{gathered}\right.
[
t
=
3
,
9
<
t
<
27
;
Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью показательной функции:
[
3
x
=
3
,
9
<
3
x
<
27
;
[
x
=
1
,
2
<
x
<
3.
\left[
\begin{gathered}
3^x=3, \\
9 < 3^x < 27;
\end{gathered}\right. \quad
\left[
\begin{gathered}
x=1, \\
2 < x < 3.
\end{gathered}\right.
[
3
x
=
3
,
9
<
3
x
<
27
;
[
x
=
1
,
2
<
x
<
3.
Следовательно,
x
∈
{
1
}
∪
(
2
;
3
)
x\in\{1\} \cup (2;3)
x
∈
{
1
}
∪
(
2
;
3
)
.
Ответ:
{
1
}
∪
(
2
;
3
)
\{1\} \cup (2;3)
{
1
}
∪
(
2
;
3
)
.
