В треугольнике ABC продолжения высоты CC1 и биссектрисы BB1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ABC=40∘,∠ACB=85∘.
a) Докажите, что BM=CN.
б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.
Решение
а) Так как BB1 — биссектриса, то ∠MBC=∠ABM=240∘=20∘.\\
Найдём угол BCC1 из прямоугольного треугольника BCC1: ∠BCC1=90∘−∠CBC1=90∘−40∘=50∘. Тогда ∠ACN=85∘−50∘=35∘.
Получаем:
1) Вписанный угол ACN опирается на дугу NA, поэтому AN⌣=2⋅35∘=70∘. 2) Вписанный угол BCN опирается на дугу BN, поэтому BN⌣=2⋅50∘=100∘. 3) Вписанный угол ABM опирается на дугу AM, поэтому AM⌣=2⋅20∘=40∘. 4) Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, поэтому AC⌣=2⋅40∘=80∘.
Найдём дугу MB: BM⌣=360∘−MB⌣=360∘−(AN⌣+BN⌣+BC⌣)= =360∘−(70∘+100∘+40∘)=360∘−210∘=150∘. Найдём дугу NC: NC⌣=NA⌣+AC⌣=80∘+70∘=150∘. Таким образом, BM⌣=NC⌣=150∘. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, BM=CN.
б) Угол MNB опирается на дугу MB, равную 150∘, поэтому:
∠MNB=21⋅150∘=75∘. Угол CBN опирается на дугу NC=150∘, поэтому:
∠CBN=21⋅150∘=75∘.
В треугольнике BDN углы при вершинах B и N равны 75∘, значит, треугольник BDN равнобедренный и BD=DN. Следовательно,
∠BDN=180∘−75∘−75∘=30∘. В прямоугольном треугольнике BDH угол BDH равен 30∘. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30∘, равен половине гипотенузы, поэтому
BH=2BD⇒BD=2⋅6=12. Так как BD=DN, то DN=12.
Площадь треугольника BDN равна
S=21⋅DN⋅BH=21⋅12⋅6=36. Ответ: 36.
