Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачи

ФИПИ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму

10

млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на

10 \%

по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит

15

млн рублей?

Решение

Пусть

S = 10

млн рублей — сумма кредита, срок

n

лет. Долг на июль каждого года уменьшается на одну и ту же величину, значит, он погашается равными долями от основного долга.
Обозначим

k = 1 + \dfrac{10}{100} = 1,1

— коэффициент увеличения долга в январе.

Составим таблицу для первых трёх лет и для последнего года.

$Изображение 1$

Найдём общую сумму выплат, сложив все выплаты. Заметим, что сумма коэффициентов при

S

образует арифметическую прогрессию. Выпишем все выплаты:

x_1 = S\left( k - \frac{n-1}{n} \right) = S\left( \frac{k n - (n-1)}{n} \right);\\x_2 = S\left( \frac{k (n-1) - (n-2)}{n} \right); \\x_3 = S\left( \frac{k (n-2) - (n-3)}{n} \right);\\\cdotsx_{n-1} = S\left( \frac{k \cdot 2 - 1}{n} \right); \\\x_n = \frac{kS}{n}.

Сложим все выплаты. Вынесем

\dfrac{S}{n}

за скобку:

{X = \frac{S}{n} \big( k n - (n-1) \big) + \big( k (n-1) -(n-2) \big) + \big( k (n-2) - (n-3) \big) + \dots + \big( k \cdot 2 - 1 \big) + k } .

Сгруппируем слагаемые с

k

и без

k

. Слагаемые с

k

k n + k (n-1) + k (n-2) + \dots + k \cdot 2 + k = k \left( n + (n-1) + (n-2) + \dots + 2 + 1 \right) = k \cdot \frac{n(n+1)}{2}.

Слагаемые без

k

(n-1) + (n-2) + (n-3) + \dots + 1 + 0 = \frac{(n-1)n}{2}.

Таким образом,

X = \frac{S}{n} \left( k \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(n-1)n}{2} \right);\\X = \frac{S}{2} \left( k (n+1) - (n-1) \right).

По условию

X = 15

млн рублей,

S = 10

млн рублей,

k = 1,1

. Подставим:

15 = \frac{10}{2} \left( 1,1(n+1) - (n-1) \right) = 5 \left( 1,1n + 1,1 - n + 1 \right) = 5 \left( 0,1n + 2,1 \right);\\15 = 0,5n + 10,5;\\0,5n = 4,5;\\n = 9.

Таким образом, кредит планируется взять на 9 лет.

Ответ:

9

Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи