В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?
Решение
Пусть S=10 млн рублей — сумма кредита, срок n лет. Долг на июль каждого года уменьшается на одну и ту же величину, значит, он погашается равными долями от основного долга.
Обозначим k=1+10010=1,1 — коэффициент увеличения долга в январе.
Составим таблицу для первых трёх лет и для последнего года.
Найдём общую сумму выплат, сложив все выплаты. Заметим, что сумма коэффициентов при S образует арифметическую прогрессию. Выпишем все выплаты:
x1=S(k−nn−1)=S(nkn−(n−1));x2=S(nk(n−1)−(n−2));x3=S(nk(n−2)−(n−3));⋯xn−1=S(nk⋅2−1);xn=nkS. Сложим все выплаты. Вынесем nS за скобку:
X=nS(kn−(n−1))+(k(n−1)−(n−2))+(k(n−2)−(n−3))+⋯+(k⋅2−1)+k. Сгруппируем слагаемые с k и без k. Слагаемые с k: kn+k(n−1)+k(n−2)+⋯+k⋅2+k=k(n+(n−1)+(n−2)+⋯+2+1)=k⋅2n(n+1). Слагаемые без k: (n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+1+0=2(n−1)n. Таким образом,
X=nS(k⋅2n(n+1)−2(n−1)n);X=2S(k(n+1)−(n−1)). По условию X=15 млн рублей, S=10 млн рублей, k=1,1. Подставим:
15=210(1,1(n+1)−(n−1))=5(1,1n+1,1−n+1)=5(0,1n+2,1);15=0,5n+10,5;0,5n=4,5;n=9. Таким образом, кредит планируется взять на 9 лет.
