Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа,
которые оканчиваются цифрой 6, а Оля — которые оканчиваются цифрой 8. Через некоторое время оказалось, что всего записано 50 чисел, а их сумма равна 8282.
1) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, и чисел, оканчивающихся цифрой 8, записано поровну?
2) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, записано ровно 49? 3) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся цифрой 8, могло быть записано?
Решение
а) Так как Юра и Оля записали числа поровну, то каждый написал по 25 чисел. Юра записал 25 чисел, оканчивающихся цифрой 6, значит их сумма оканчивается цифрой 0. Юля записала 25 чисел, оканчивающихся цифрой 8, значит их сумма оканчивается цифрой 0. Следовательно, сумма всех 50 чисел, оканичвается на 0. Таким образом, получить сумму равную 8282 невозможно.
б) Юра записал 49 чисел, оканчивающихся цифрой 6. Рассмотрим сумму 49 наименьших различных чисел, которые оканчиваются на 6: 6+16+…+(6+10⋅48)=26+486⋅49=246⋅49=12054. Если Юля записала наименьшее число, которое оканчивается на 8, то минимальная сумма таких чисел превосходит 8282. Противоречие.
в) Пусть Оля записала n чисел (оканчивающихся на 8). Тогда Юра записал 50−n чисел (оканчивающихся на 6). Оценим минимально возможную сумму всех 50 чисел. Сумма будет наименьшей, если каждый игрок выберет наименьшие допустимые различные числа (арифметические прогрессии с шагом 10).
Если у Оли n=10 чисел, то наименьшие из них:
8,18,…98. Их сумма равна
28+98⋅10=530. Тогда у Юры 50−10=40 чисел. Наименьшие из них:
6,16,…,396. Их сумма
26+396⋅40=8040. Таким образом, минимальная сумма равна 8040+530=8570>8282, значит получить сумму 8282 при 10 числах у Оли невозможно.
Докажем, что при n<10 сумма будет становиться больше. Всего чисел 50. Если мы уменьшаем количество чисел у Оли (забираем у неё самые маленькие из доступных, например, 8,18,…98., то освободившиеся <<места>> приходится заполнять Юре. Но Юра может писать только числа, оканчивающиеся на 6. Свои наименьшие числа (6,16,…,396) он уже использовал, поэтому ему придётся брать следующие по величине (406,416,…), которые значительно больше <<отнятых>> у Оли восьмёрок. Замена маленьких чисел на большие неизбежно увеличивает общую сумму.
Проверим, можно ли получить сумму 8282, если у Оли n=11 чисел, а у Юры 50−11=39 чисел. Возьмём для каждого наименьшие возможные числа:
— У Оли n=11 чисел, то у Юры 50−11=39 чисел. Возьмём для каждого наименьшие возможные числа:
— Оля (11 чисел): 8,18,…108, их сумма:
28+108⋅11=638. — Юра (39 чисел): 6,16,…386, их сумма:
26+386⋅39=196⋅39=7644.
Общая сумма чисел Оли и Юры равна 638+7644=8282. Таким образом, 11 — наименьшее количество чисел, которые могла записать Оля.
