Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселСтатГрад 23.04.2025

Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа,
которые оканчиваются цифрой

6

, а Оля — которые оканчиваются цифрой

8

. Через некоторое время оказалось, что всего записано

50

чисел, а их сумма равна

8282

.

1) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой

6

, и чисел, оканчивающихся цифрой

8

, записано поровну?
2) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой

6

, записано ровно

49

?
3) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся цифрой

8

, могло быть записано?

Решение

а) Так как Юра и Оля записали числа поровну, то каждый написал по

25

чисел. Юра записал

25

чисел, оканчивающихся цифрой

6

, значит их сумма оканчивается цифрой

0

. Юля записала

25

чисел, оканчивающихся цифрой

8

, значит их сумма оканчивается цифрой

0

. Следовательно, сумма всех

50

чисел, оканичвается на

0

. Таким образом, получить сумму равную

8282

невозможно.
б) Юра записал

49

чисел, оканчивающихся цифрой

6

. Рассмотрим сумму 49 наименьших различных чисел, которые оканчиваются на

6

6 + 16 + \ldots + (6 + 10 \cdot 48)= \dfrac{6+ 486}{2} \cdot 49 = 246 \cdot 49 = 12054.

Если Юля записала наименьшее число, которое оканчивается на

8

, то минимальная сумма таких чисел превосходит

8282

. Противоречие.
в) Пусть Оля записала

n

чисел (оканчивающихся на

8

). Тогда Юра записал

50-n

чисел (оканчивающихся на 6). Оценим минимально возможную сумму всех

50

чисел. Сумма будет наименьшей, если каждый игрок выберет наименьшие допустимые различные числа (арифметические прогрессии с шагом

10

).

Если у Оли

n =10

чисел, то наименьшие из них:

8, 18, \dots 98.

Их сумма равна

\dfrac{ 8 +98}{2}\cdot 10 = 530.

Тогда у Юры

50-10 =40

чисел. Наименьшие из них:

6,16, \ldots , 396.

Их сумма

\dfrac{6 + 396}{2} \cdot 40 = 8040.

Таким образом, минимальная сумма равна

8040+530 = 8570> 8282

, значит получить сумму

8282

при

10

числах у Оли невозможно.

Докажем, что при

n < 10

сумма будет становиться больше. Всего чисел

50

. Если мы уменьшаем количество чисел у Оли (забираем у неё самые маленькие из доступных, например,

8, 18, \dots 98.

, то освободившиеся <<места>> приходится заполнять Юре. Но Юра может писать только числа, оканчивающиеся на 6. Свои наименьшие числа (

6,16,\ldots,396

) он уже использовал, поэтому ему придётся брать следующие по величине (

406,416, \ldots

), которые значительно больше <<отнятых>> у Оли восьмёрок. Замена маленьких чисел на большие неизбежно увеличивает общую сумму.

Проверим, можно ли получить сумму

8282

, если у Оли

n =11

чисел, а у Юры

50-11=39

чисел. Возьмём для каждого наименьшие возможные числа:

— У Оли

n = 11

чисел, то у Юры

50 - 11 =39

чисел. Возьмём для каждого наименьшие возможные числа:

— Оля (11 чисел):

8, 18, \ldots 108

, их сумма:

\dfrac{8 + 108}{2} \cdot 11 = 638.

— Юра (39 чисел):

6, 16, \ldots 386

, их сумма:

\dfrac{6 + 386}{2} \cdot 39 = 196 \cdot 39 = 7644.

Общая сумма чисел Оли и Юры равна

638 + 7644 = 8282

. Таким образом,

11

— наименьшее количество чисел, которые могла записать Оля.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в)

11

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи