На доске написано 20 натуральных… — Теория чисел — ЕГЭ

Школьник

Студент

Преподаватель

Теория чиселЕГЭ 2025 (пересдача)

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит 50. Одно или несколько из чисел на доске увеличили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 51, с доски стёрли.

a) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?

б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 24, а потом стало равно 17?

в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 24?

Решение

а) Да, если взять 19 чисел 11 и одно число 50.
Тогда старое среднее арифметическое равно

\dfrac{19 \cdot 11 +50}{20} = 12 \dfrac{19}{20}

, а новое --

\dfrac{19 \cdot (11+1)}{19} = 12

.
б) Так как среднее арифметическое всех чисел равно 24, то их сумма равна

20\cdot 24 = 480

.
Пусть

x

-- количество чисел 50, увеличенных на 1, а

y

-- количество всех остальных чисел, увеличенных на 1. Тогда

\dfrac{480 - 50x + y}{20-x} = 17, \quad 340 - 17x = 480 - 50x +y, \quad 33x = 140 + y.

Заметим, что

y \in [0;20)

, значит,

y+140 \in [140;160)

, но в этом промежутке нет чисел, кратных~33, получили противоречие.
в) Пусть

S_2

-- новое среднее арифметическое. Аналогично пункту б) получаем, что

S_2 = \dfrac{480 - 50x + y}{20 - x} > \dfrac{480 - 50x}{20 - x} = \dfrac{1000 - 50x - 520}{20-x} = 50 - \dfrac{520}{20-x}.

Очевидно, что

S_2 > 0

, тогда получаем неравенство:

50 - \dfrac{520}{20-x} > 0, \quad \dfrac{480 - 50x}{20-x} >0, \quad \dfrac{50x-480}{x-20} >0, \quad \dfrac{5x-48}{x-20} >0;

$Изображение 1$

Значение

x

должно быть целым, поэтому

x_{max} = 9

. Тогда

S_2 = \dfrac{30}{11}

.
Приведём пример для

x = 9

:
9 чисел 50, которые увеличили на 1, 10 чисел 1, которые не увеличили на 1, и число 20, которое не увеличили.
Ответ: а) да, б) нет, в)

\dfrac{30}{11}