На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит 50. Одно или несколько из чисел на доске увеличили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 51, с доски стёрли.
a) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?
б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 24, а потом стало равно 17?
в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 24?
Решение
а) Да, если взять 19 чисел 11 и одно число 50.
Тогда старое среднее арифметическое равно 2019⋅11+50=122019, а новое -- 1919⋅(11+1)=12. б) Так как среднее арифметическое всех чисел равно 24, то их сумма равна 20⋅24=480. Пусть x -- количество чисел 50, увеличенных на 1, а y -- количество всех остальных чисел, увеличенных на 1. Тогда
20−x480−50x+y=17,340−17x=480−50x+y,33x=140+y. Заметим, что y∈[0;20), значит, y+140∈[140;160), но в этом промежутке нет чисел, кратных~33, получили противоречие.
в) Пусть S2 -- новое среднее арифметическое. Аналогично пункту б) получаем, что
S2=20−x480−50x+y>20−x480−50x=20−x1000−50x−520=50−20−x520. Очевидно, что S2>0, тогда получаем неравенство:
50−20−x520>0,20−x480−50x>0,x−2050x−480>0,x−205x−48>0;
Значение x должно быть целым, поэтому xmax=9. Тогда S2=1130. Приведём пример для x=9: 9 чисел 50, которые увеличили на 1, 10 чисел 1, которые не увеличили на 1, и число 20, которое не увеличили.
Ответ: а) да, б) нет, в) 1130.
