Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачиЕГЭ 2025 (резерв)

Зависимость объёма

Q

(в шт.) купленного у фирмы товара от цены

P

(в руб. за шт.) выражается формулой

Q=15000-P

1000\leqslant P\leqslant 15000

. Доход от продажи товара составляет

PQ

рублей. Затраты на производство

Q

единиц товара составляют

3000Q+5000000

рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на

20\, \%

, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решение

Прибыль от продажи

Q

единиц товаров будет составлять

PQ-3000Q-5000000

рублей, тогда получаем функцию зависимости прибыли от стоимости товара:

f(P)=P(1500-P)-3000(1500-P)-5000000=-P^2+18000P-50000000.

После снижения цены на

20\, \%

она составит

0,8P

, тогда прибыль будет равна:

f(0,8P)=-(0,8P)^2+18000\cdot0,8P-50000000.

Так как после уменьшения цены товара прибыль не изменилась, то получаем уравнение:

f(P)=f(0,8P);

-P^2+18000P-50000000=-(0,8P)^2+18000\cdot0,8P-50000000;

-P^2+18000P=-0,64P^2+18000\cdot0,8P;

0,36P^2-36000P=0;

0,36P(P-10000)=0;

P=0, \quad P=10000.

По смыслу задачи

P>0

, поэтому первоначальная цена -- это

P=10000

рублей. После снижения на

20\, \%

она стала равна

0,8P=0,8\cdot 10000=8000

рублей.
Зависимость прибыли от стоимости товара представляет собой квадратичную функцию

f(P)=-P^2+18000P-50000000.

Её графиком является парабола с ветвями вниз, поэтому своего наибольшего значения она достигает в вершине

P_{max}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-18000}{-2}=9000 \ \text{рублей}.

Таким образом, необходимо поднять стоимость с

8000

до

9000

рублей, значит, увеличить её в

\dfrac{9000}{8000}=\dfrac{9}{8}=1,125

раза. Следовательно, цену нужно увеличить на

12,5\, \%

.
Ответ:

12,5\, \%

Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи