Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000−P,1000⩽P⩽15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Решение
Прибыль от продажи Q единиц товаров будет составлять
PQ−3000Q−5000000 рублей, тогда получаем функцию зависимости прибыли от стоимости товара:
f(P)=P(1500−P)−3000(1500−P)−5000000=−P2+18000P−50000000. После снижения цены на 20% она составит 0,8P, тогда прибыль будет равна:
f(0,8P)=−(0,8P)2+18000⋅0,8P−50000000. Так как после уменьшения цены товара прибыль не изменилась, то получаем уравнение:
f(P)=f(0,8P); −P2+18000P−50000000=−(0,8P)2+18000⋅0,8P−50000000; −P2+18000P=−0,64P2+18000⋅0,8P; 0,36P2−36000P=0; 0,36P(P−10000)=0; P=0,P=10000. По смыслу задачи P>0, поэтому первоначальная цена -- это P=10000 рублей. После снижения на 20% она стала равна 0,8P=0,8⋅10000=8000 рублей.
Зависимость прибыли от стоимости товара представляет собой квадратичную функцию f(P)=−P2+18000P−50000000. Её графиком является парабола с ветвями вниз, поэтому своего наибольшего значения она достигает в вершине
Pmax=2a−b=−2−18000=9000рублей. Таким образом, необходимо поднять стоимость с 8000 до 9000 рублей, значит, увеличить её в 80009000=89=1,125 раза. Следовательно, цену нужно увеличить на 12,5%. Ответ: 12,5%.
