Найдите все значения a, при каждом из которых точки плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют равенству
y3+ay2+2ay+9y=27x, представляют собой график некоторой функции y=f(x) при всех действительных значениях x.
Решение
По определению функции каждому значению x должно соответствовать только одно значение y, значит, функция x=g(y) должна быть монотонной, то есть её производная должна иметь постоянный знак.
x=271(y3+ay2+2ay+9y). То есть g(y)=271(y3+ay2+2ay+9y). Найдём производную функции g(y): g′(y)=271(3y2+2ay+2a+9). Так как g(y) -- это кубическая парабола с положительным старшим коэффициентом, то g′(y) должна быть неотрицательной, следовательно, должно выполняться следующее неравенство:
271(3y2+2ay+2a+9)⩾0; 3y2+2ay+2a+9⩾0; D=4a2−4⋅3⋅(2a+9)=4a2−24a−108. g′(y) -- квадратичная функция, график которой парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, для того, чтобы она при всех y была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы её дискриминант был неположителен, то есть:
4a2−24a−108≤0,a2−6a−27≤0,(a−9)(a+3)≤0,−3≤a≤9.
Осталось проверить, что область определения функции y=f(x) включает все действительные числа. У кубической функции x=g(y) областью значений является множество всех действительных чисел, поэтому функция y=f(x) будет определена для всех действительных x.
