Параметр и график функции — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГКР 07.04.2026

Найдите все значения

a

, при каждом из которых точки плоскости

Oxy

, координаты которых удовлетворяют равенству

y^3 + ay^2 + 2ay + 9y = \sqrt{27}x,

представляют собой график некоторой функции

y = f(x)

при всех действительных значениях

x

Решение

По определению функции каждому значению

x

должно соответствовать только одно значение

y

, значит, функция

x=g(y)

должна быть монотонной, то есть её производная должна иметь постоянный знак.

x=\dfrac{1}{\sqrt{27}}(y^3+ay^2+2ay+9y).

То есть

g(y)=\dfrac{1}{\sqrt{27}}(y^3+ay^2+2ay+9y)

.
Найдём производную функции

g(y)

g'(y)=\dfrac{1}{\sqrt{27}}(3y^2+2ay+2a+9).

Так как

g(y)

-- это кубическая парабола с положительным старшим коэффициентом, то

g'(y)

должна быть неотрицательной, следовательно, должно выполняться следующее неравенство:

\dfrac{1}{\sqrt{27}}(3y^2+2ay+2a+9)\geqslant0;

3y^2+2ay+2a+9\geqslant0;

D=4a^2-4\cdot 3 \cdot(2a+9)=4a^2-24a-108.

g'(y)

-- квадратичная функция, график которой парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, для того, чтобы она при всех

y

была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы её дискриминант был неположителен, то есть:

4a^2-24a-108\le0, \quad a^2-6a-27\le 0, \quad (a-9)(a+3)\le 0, \quad -3\le a \le 9.

$Изображение 1$

Осталось проверить, что область определения функции

y=f(x)

включает все действительные числа. У кубической функции

x=g(y)

областью значений является множество всех действительных чисел, поэтому функция

y=f(x)

будет определена для всех действительных

x

.

Ответ:

a\in [-3;9]