Точки A,B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S. Точка M --- середина хорды BC,AC --- диаметр.
a) Докажите, что угол между прямой SM и плоскостью ABC равен углу между прямой AB и плоскостью SBC.
б) Найдите высоту конуса, если угол между прямой AB и плоскостью SBC равен 60∘,AC=10,BC=6.
Решение
1) Пусть O -- центр основания конуса.
∠ABC=90∘ как вписанный и опирающийся на диаметр AC. 2) Так как AO=OC=r, а BM=MC, то OM -- средняя линия в △ABC, следовательно, OM∥AB и OM⊥BC. 3) ∠(SM;(ABC))=∠(SM;OM)=∠SMO, где OM -- проекция SM на плоскость (ABC), тогда SM⊥BC по теореме о трёх перпендикулярах.
4) Так как AB∥OM, то ∠(AB;(SBC))=∠(OM;(SBC)). При этом OM⊥BC и SM⊥BC, значит, ∠OMS=∠(OM;(SBC)), тогда ∠(AB;(SBC))=∠OMS=∠(SM;(ABC)), ч.т.д.
б)
1) В △ABC по теореме Пифагора:
AB2+BC2=AC2,AB=AC2−BC2=102−62=8. 2) OM=21AB=21⋅8=4. 3) Из △SOM получаем, что:
SO=OM⋅tg∠SMO=4⋅tg60∘=43.
