Показательные неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваЕГКР 23.04.2022

Решите неравенство

4^{\tfrac{2x+2}{x}}-\dfrac{4}{3}\cdot12^{\tfrac{x+1}{x}}+3^{\tfrac{1}{x}}-4^{\tfrac{1}{x}}\geqslant 0.

Решение

По свойствам степеней:

4^{\tfrac{2x+2}{x}} = 4^{2+\tfrac{2}{x}} = 4^2 \cdot 4^{\tfrac{2}{x}} = 16\cdot 4^{\tfrac{2}{x}};

12^{\tfrac{x+1}{x}} = 12^{1+\tfrac{1}{x}} = 12 \cdot 12^{\tfrac{1}{x}} = 12 \cdot (4\cdot 3)^{\tfrac{1}{x}} = 12\cdot 4^{\tfrac{1}{x}} \cdot 3^{\tfrac{1}{x}}.

Тогда неравенство примет вид:

16\cdot 4^{\tfrac{2}{x}} - \dfrac{4}{3} \cdot 12\cdot 4^{\tfrac{1}{x}} \cdot 3^{\tfrac{1}{x}} + 3^{\tfrac{1}{x}}-4^{\tfrac{1}{x}}\geqslant 0;

16\cdot 4^{\tfrac{2}{x}} - 16\cdot 4^{\tfrac{1}{x}} \cdot 3^{\tfrac{1}{x}} + 3^{\tfrac{1}{x}}-4^{\tfrac{1}{x}}\geqslant 0;

16\cdot 4^{\tfrac{1}{x}} \left(4^{\tfrac{1}{x}} - 3^{\tfrac{1}{x}}\right) - \left(4^{\tfrac{1}{x}} - 3^{\tfrac{1}{x}}\right)\geqslant 0;

\left(4^{\tfrac{1}{x}} - 3^{\tfrac{1}{x}}\right)\left(16\cdot 4^{\tfrac{1}{x}} -1\right)\geqslant 0; \ \big | : \left(16\cdot 3^{\tfrac{1}{x}}\right) > 0

\left(\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\tfrac{1}{x}} - 1\right)\left(4^{\tfrac{1}{x}} - \dfrac{1}{16}\right)\geqslant 0;

\left(\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\tfrac{1}{x}} - \left(\dfrac{4}{3}\right)^{0}\right)\left(4^{\tfrac{1}{x}} - 4^{-2}\right)\geqslant 0.

Воспользуемся методом рационализации и учтём, что

\dfrac{4}{3} > 1

4 > 1

\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{x}+2\right)\geqslant0;

\dfrac{1 +2x}{x^2}\geqslant0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 1$

Значит,

x\in [-0,5; 0) \cup (0; +\infty)

.

Ответ:

[-0,5; 0) \cup (0; +\infty)

Похожие задачи