Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60∘. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды
Ответ:
Решение
Пусть (ASD)⊥(ABC), точка N — середина стороны BC. Поскольку боковые грани SAB,SDC и SBC наклонены к основанию под углом 60∘, углы A и D в треугольнике ASD и угол N в треугольнике SMN равны по 60∘. Следовательно, треугольник ASD — равносторонний, тогда его сторона будет равна
SM=23AD,AD=32SM=32⋅9=63.
Из прямоугольного треугольника SMN находим:
MN=tg60∘SM=39=33.
Так как ABCD — прямоугольник, то:
SABCD=AD⋅AB=AD⋅MN=63⋅33=54.
Тогда объём пирамиды будет равен:
VSABCD=31SABCD⋅SM=31⋅54⋅9=162.
