Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Уравнения
СтатГрад 22.04.2026
Скопировать ссылку
3a9aff7f
а) Решите уравнение
cos
x
⋅
sin
(
x
+
π
4
)
⋅
sin
(
x
−
π
4
)
=
cos
2
x
.
\cos x \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 2x.
cos
x
⋅
sin
(
x
+
4
π
)
⋅
sin
(
x
−
4
π
)
=
cos
2
x
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[
−
4
π
;
−
5
π
2
]
.
\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right].
[
−
4
π
;
−
2
5
π
]
.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Воспользуемся формулами синуса суммы и разности:
cos
x
(
sin
x
cos
π
4
+
cos
x
sin
π
4
)
(
sin
x
cos
π
4
−
cos
x
sin
π
4
)
=
cos
2
x
.
\cos x \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos 2x.
cos
x
(
sin
x
cos
4
π
+
cos
x
sin
4
π
)
(
sin
x
cos
4
π
−
cos
x
sin
4
π
)
=
cos
2
x
.
\text{Свернём по формуле разности квадратов:}
cos
x
(
sin
2
x
⋅
(
2
2
)
2
−
cos
2
x
⋅
(
2
2
)
2
)
=
cos
2
x
;
\cos x \left( \sin^2 x \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \cos^2 x \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \right) = \cos 2x;
cos
x
sin
2
x
⋅
(
2
2
)
2
−
cos
2
x
⋅
(
2
2
)
2
=
cos
2
x
;
−
1
2
cos
x
(
cos
2
x
−
sin
2
x
)
−
cos
2
x
=
0
;
- \frac{1}{2} \cos x \left( \cos^2 x - \sin^2 x \right) - \cos 2x = 0;
−
2
1
cos
x
(
cos
2
x
−
sin
2
x
)
−
cos
2
x
=
0
;
−
1
2
cos
x
cos
2
x
−
cos
2
x
=
0
;
- \frac{1}{2} \cos x \cos 2x - \cos 2x = 0;
−
2
1
cos
x
cos
2
x
−
cos
2
x
=
0
;
cos
2
x
(
−
1
2
cos
x
−
1
)
=
0
;
\cos 2x \left( - \frac{1}{2} \cos x - 1 \right) = 0;
cos
2
x
(
−
2
1
cos
x
−
1
)
=
0
;
[
cos
2
x
=
0
,
−
1
2
cos
x
−
1
=
0
;
[
cos
2
x
=
0
,
cos
x
=
−
2
,
нет решений, т.к.
cos
x
∈
[
−
1
;
1
]
.
\left[
\begin{aligned}
& \cos 2x = 0, \\
& -\frac{1}{2} \cos x - 1 = 0 ; \\
\end{aligned}
\right.
\quad
\left[
\begin{aligned}
& \cos 2x = 0, \\
& \cos x = -2 , \text{ нет решений, т.к. } \cos x \in [-1; 1].\\
\end{aligned}
\right.
cos
2
x
=
0
,
−
2
1
cos
x
−
1
=
0
;
[
cos
2
x
=
0
,
cos
x
=
−
2
,
нет
решений
,
т
.
к
.
cos
x
∈
[
−
1
;
1
]
.
2
x
=
π
2
+
π
k
,
k
∈
Z
;
2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z};
2
x
=
2
π
+
πk
,
k
∈
Z
;
x
=
π
4
+
π
k
2
,
k
∈
Z
.
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}.
x
=
4
π
+
2
πk
,
k
∈
Z
.
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку
[
−
4
π
;
−
5
π
2
]
\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]
[
−
4
π
;
−
2
5
π
]
,
с помощью тригонометрической окружности.
На отрезок попали следующие корни:
−
15
π
4
,
−
13
π
4
,
−
11
π
4
.
-\frac{15\pi}{4}, \ -\frac{13\pi}{4}, \ -\frac{11\pi}{4}.
−
4
15
π
,
−
4
13
π
,
−
4
11
π
.
Ответ: а)
π
4
+
π
k
2
,
k
∈
Z
\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}
4
π
+
2
πk
,
k
∈
Z
;
б)
−
15
π
4
,
−
13
π
4
,
−
11
π
4
.
-\dfrac{15\pi}{4}, \ -\dfrac{13\pi}{4}, \ -\dfrac{11\pi}{4}.
−
4
15
π
,
−
4
13
π
,
−
4
11
π
.
