Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 22.04.2026

а) Решите уравнение

\cos x \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right].

Решение

Воспользуемся формулами синуса суммы и разности:

\cos x \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos 2x.

\text{Свернём по формуле разности квадратов:}

\cos x \left( \sin^2 x \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \cos^2 x \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \right) = \cos 2x;

- \frac{1}{2} \cos x \left( \cos^2 x - \sin^2 x \right) - \cos 2x = 0;

- \frac{1}{2} \cos x \cos 2x - \cos 2x = 0;

\cos 2x \left( - \frac{1}{2} \cos x - 1 \right) = 0;

\left[\begin{aligned}& \cos 2x = 0, \\& -\frac{1}{2} \cos x - 1 = 0 ; \\\end{aligned}\right.\quad\left[\begin{aligned}& \cos 2x = 0, \\& \cos x = -2 , \text{ нет решений, т.к. } \cos x \in [-1; 1].\\\end{aligned}\right.

2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z};

x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]

, с помощью тригонометрической окружности.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

-\frac{15\pi}{4}, \ -\frac{13\pi}{4}, \ -\frac{11\pi}{4}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{15\pi}{4}, \ -\dfrac{13\pi}{4}, \ -\dfrac{11\pi}{4}.

Похожие задачи