Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Задание 24
Скопировать ссылку
39d0db83
Биссектрисы углов
B
B
B
и
C
C
C
параллелограмма
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
пересекаются в точке
M
M
M
,
лежащей на стороне
A
D
AD
A
D
.
Докажите, что
M
M
M
— середина
A
D
AD
A
D
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Идея. Каждая биссектриса вместе с параллельными сторонами параллелограмма даёт равнобедренный треугольник.
1) Так как
A
D
∥
B
C
AD\parallel BC
A
D
∥
BC
,
то
∠
A
M
B
=
∠
M
B
C
\angle AMB=\angle MBC
∠
A
MB
=
∠
MBC
.
Но
B
M
BM
BM
— биссектриса, значит
∠
A
B
M
=
∠
M
B
C
\angle ABM=\angle MBC
∠
A
BM
=
∠
MBC
.
Поэтому
∠
A
B
M
=
∠
A
M
B
\angle ABM=\angle AMB
∠
A
BM
=
∠
A
MB
,
и
△
A
B
M
\triangle ABM
△
A
BM
равнобедренный:
A
M
=
A
B
AM=AB
A
M
=
A
B
.
2) Аналогично,
A
D
∥
B
C
AD\parallel BC
A
D
∥
BC
,
поэтому
∠
D
M
C
=
∠
B
C
M
\angle DMC=\angle BCM
∠
D
MC
=
∠
BCM
.
Так как
C
M
CM
CM
— биссектриса
∠
B
C
D
\angle BCD
∠
BC
D
,
имеем
∠
B
C
M
=
∠
M
C
D
\angle BCM=\angle MCD
∠
BCM
=
∠
MC
D
.
Значит,
△
D
C
M
\triangle DCM
△
D
CM
равнобедренный:
D
M
=
D
C
DM=DC
D
M
=
D
C
.
3) В параллелограмме
A
B
=
C
D
AB=CD
A
B
=
C
D
.
Следовательно,
A
M
=
A
B
=
C
D
=
D
M
AM=AB=CD=DM
A
M
=
A
B
=
C
D
=
D
M
,
то есть
M
M
M
— середина
A
D
AD
A
D
.
