Кусок льда представляет собой правильную… — Простая стереометрия — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Простая стереометрияЕГКР 06.04.2023

Кусок льда представляет собой правильную шестиугольную призму высотой 12 см. Его планируют расплавить и вновь заморозить так, чтобы получилась правильная треугольная призма, сторона основания которой в 2 раза больше стороны основания исходной. Чему будет равна её высота? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

Решение

Пусть сторона основания шестиугольной призмы равна

a

, тогда сторона основания треугольной призмы равна

2a

.
Площадь правильного шестиугольника со стороной

a

равна

S_{\text{шестиуг.}} = 6S_{\text{прав. треуг.}} = 6\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2.

Площадь основания правильной треугольной призмы со стороной

2a

равна

S_{\text{прав. треуг.}}= \dfrac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}a^2.

Объём любой призмы равен:

V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн.}} \cdot h.

$Изображение 1$

$Изображение 2$

Так как объёмы шестиугольной и треугольной призм равны, то получаем уравнение:

\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot 12 = \sqrt{3}a^2 h,

откуда находим:

h = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18.

Ответ: 18.

Простая стереометрияЕГКР 06.04.2023

Ответ:

Решение

Пусть сторона основания шестиугольной призмы равна

a

, тогда сторона основания треугольной призмы равна

2a

.
Площадь правильного шестиугольника со стороной

a

равна

S_{\text{шестиуг.}} = 6S_{\text{прав. треуг.}} = 6\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2.

Площадь основания правильной треугольной призмы со стороной

2a

равна

S_{\text{прав. треуг.}}= \dfrac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}a^2.

Объём любой призмы равен:

V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн.}} \cdot h.

$Изображение 1$

$Изображение 2$

Так как объёмы шестиугольной и треугольной призм равны, то получаем уравнение:

\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot 12 = \sqrt{3}a^2 h,

откуда находим:

h = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18.

Ответ: 18.