Пусть ab обозначает двузначное число, равное 10a+b, где a и b -- десятичные цифры, a=0.
a) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a,b,c и d, что ab⋅cd−ba⋅dc=297?
б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a,b,c и d, что ab⋅cd−ba⋅dc=1386, если среди цифр a,b,c и d есть цифра 7?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение ab⋅cd−ba⋅dc, если среди цифр a,b,c и d есть цифры 4 и 7?
Решение
Упростим выражение ab⋅cd−ba⋅dc: (10a+b)(10c+d)−(10b+a)(10d+c)=100ac+10ad+10bc+bd−100bd−10bc−10ad−ac=99ac−99bd. а) После упрощения получаем, что:
99ac−99bd=297;∣:99 ac−bd=3. Данное равенство верно при a=3,c=9,b=6 и d=4. б) После упрощения получаем, что:
99ac−99bd=1386;∣:99 ac−bd=14. Заметим, что если одной из цифр будет 7, то ровно одно слагаемое в левой части будет кратно~7. Другoе ни при каких цифрах не кратно 7, так как 7 -- простое число. Правая часть кратна 7, а левая -- нет, получаем противоречие.
в) 99(ac−bd)max. Разность будет максимальной, если уменьшаемое будет максимальным, а вычитаемое минимальным.
Рассмотрим четыре случая.
1) Уменьшаемое не содержит цифр 4 и 7. Тогда:
ac⩽9⋅8=72,bd=4⋅7=28,99(ac−bd)⩽(72−28)=99⋅44=4356. 2) Уменьшаемое содержит цифру 7, а вычитаемое содержит цифру 4. Тогда:
ac⩽9⋅7=63,bd⩾4⋅1=4,99(ac−bd)⩽99⋅59=5841. 3) Уменьшаемое содержит цифру 4, а вычитаемое содержит цифру 7. Тогда:
ac⩽9⋅4=36,bd⩾7⋅1=7,99(ac−bd)⩽99⋅29=2871. 4) Уменьшаемое содержит цифры 4 и 7. Тогда:
ac=4⋅7=28,bd⩾1⋅2=2,99(ac−bd)⩽(28−2)=99⋅26=2574. Значит, максимальное значение равно 5841 и достигается при a=9,c=7,b=4 и d=1.
