Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселЕГКР 23.04.2022

Пусть

\overline{a b}

обозначает двузначное число, равное

10 a+b

, где

a

b

-- десятичные цифры,

a \neq 0

.

a) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры

a, b, c

d

, что

\overline{a b} \cdot \overline{c d}-\overline{b a} \cdot \overline{d c}=297

?

б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры

a, b, c

d

, что

\overline{a b} \cdot \overline{c d}-\overline{b a} \cdot \overline{d c}=1386

, если среди цифр

a, b, c

d

есть цифра 7?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение

\overline{a b} \cdot \overline{c d}-\overline{b a} \cdot \overline{d c}

, если среди цифр

a, b, c

d

есть цифры 4 и 7?

Решение

Упростим выражение

\overline{a b} \cdot \overline{c d}-\overline{b a} \cdot \overline{d c}

(10a+b)(10c+d) - (10b+a)(10d+c) = 100ac + 10ad + 10bc + bd - 100bd - 10bc - 10ad - ac = 99ac - 99bd.

а) После упрощения получаем, что:

99ac - 99bd = 297; \ |:99

ac - bd = 3.

Данное равенство верно при

a = 3

c = 9

b = 6

d = 4

.
б) После упрощения получаем, что:

99ac - 99bd = 1386; \ |:99

ac - bd = 14.

Заметим, что если одной из цифр будет 7, то ровно одно слагаемое в левой части будет кратно~7. Другoе ни при каких цифрах не кратно 7, так как 7 -- простое число. Правая часть кратна 7, а левая -- нет, получаем противоречие.
в)

99(ac - bd) \xrightarrow{} \max

.
Разность будет максимальной, если уменьшаемое будет максимальным, а вычитаемое минимальным.
Рассмотрим четыре случая.
1) Уменьшаемое не содержит цифр 4 и 7. Тогда:

ac \leqslant 9\cdot 8 = 72, \ bd = 4\cdot 7 = 28, \ 99(ac - bd)\leqslant (72 - 28) = 99 \cdot 44 = 4356.

2) Уменьшаемое содержит цифру 7, а вычитаемое содержит цифру 4. Тогда:

ac \leqslant 9\cdot 7 = 63, \ bd \geqslant 4\cdot 1 = 4, \ 99(ac - bd)\leqslant 99 \cdot 59 = 5841.

3) Уменьшаемое содержит цифру 4, а вычитаемое содержит цифру 7. Тогда:

ac \leqslant 9\cdot 4 = 36, \ bd \geqslant 7\cdot 1 = 7, \ 99(ac - bd)\leqslant 99 \cdot 29 = 2871.

4) Уменьшаемое содержит цифры 4 и 7. Тогда:

ac = 4\cdot 7 = 28, \ bd \geqslant 1\cdot 2 = 2, \ 99(ac - bd)\leqslant (28 - 2) = 99 \cdot 26 = 2574.

Значит, максимальное значение равно 5841 и достигается при

a = 9

c = 7

b = 4

d = 1

.

Ответ: а) да, б) нет, в) 5841.

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи