Показательное неравенство с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 13.12.2023

Найдите все значения

a

, при каждом из которых неравенство

3a(a-2)-(a-2)(2^{x+2}+2)\le (x^2-4x)(2^{x+2}+2)-3ax^2+12ax

имеет решения на промежутке

(0;1]

Решение

Решим неравенство:

3a(a-2)-(a-2)(2^{x+2}+2)\leqslant (x^2-4x)(2^{x+2}+2)-3ax^2+12ax.

Перенесём всё в левую часть:

3a(a-2)-(a-2)(2^{x+2}+2)-(x^2-4x)(2^{x+2}+2)+3ax^2-12ax\leqslant0.

Сгруппируем:

3a(a-2+x^2-4x)-(2^{x+2}+2)(a-2+x^2-4x)\leqslant0.

Вынесем общий множитель:

(a-2+x^2-4x)(3a-2^{x+2}-2)\leqslant0.

Получили неравенство:

\left(a-(2+4x-x^2)\right)\left(a-\frac{2^{x+2}+2}{3}\right)\leqslant0.

Обозначим:

a_1=2+4x-x^2, \qquad a_2=\frac{2^{x+2}+2}{3}.

Тогда неравенство имеет вид:

(a-a_1)(a-a_2)\leqslant0.

Произведение двух множителей неположительно, когда множители имеют разные знаки или один из них равен нулю. Это означает, что число

a

должно находиться между числами

a_1

a_2

.

Значит, для каждого фиксированного

x

параметр

a

должен лежать между графиками

a=2+4x-x^2\quad \text{и} \quada=\frac{2^{x+2}+2}{3}.

При

x=0

получаем

a(0)=2+4\cdot0-0^2=2,\qquada(0)=\frac{2^{0+2}+2}{3}=\frac{4+2}{3}=2.

То есть графики имеют общую точку

(0;2)

.

При

x=1

получаем

a(1)=2+4\cdot1-1^2=5,\qquada(1)=\frac{2^{1+2}+2}{3}=\frac{8+2}{3}=\frac{10}{3}.

Построим графики этих функций на

x\in(0;1]

По рисунку получаем, что неравенство имеет решения на промежутке

(0;1]

при

a\in(2;5].

Ответ:

a\in(2;5]

Похожие задачи