Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
38386396
Найдите точку минимума функции
y
=
x
2
−
28
x
+
96
⋅
ln
x
+
31
y = x^{2} - 28x + 96\cdot \ln x + 31
y
=
x
2
−
28
x
+
96
⋅
ln
x
+
31
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Функция
y
y
y
определена при
x
>
0
x > 0
x
>
0
.
Найдём производную:
y
′
=
2
x
−
28
+
96
x
.
y' = 2x - 28 + \frac{96}{x}.
y
′
=
2
x
−
28
+
x
96
.
Найдём нули производной:
2
x
−
28
+
96
x
=
0
;
2x - 28 + \frac{96}{x} = 0;
2
x
−
28
+
x
96
=
0
;
2
x
2
−
28
x
+
96
=
0
;
2x^2 - 28x + 96 = 0;
2
x
2
−
28
x
+
96
=
0
;
x
1
,
2
=
28
±
784
−
768
4
=
28
±
16
4
=
28
±
4
4
;
x_{1, 2} = \dfrac{28 \pm\sqrt{784 - 768}}{4} = \dfrac{28 \pm\sqrt{16}}{4} = \dfrac{28\pm 4}{4};
x
1
,
2
=
4
28
±
784
−
768
=
4
28
±
16
=
4
28
±
4
;
x
1
=
6
,
x
2
=
8.
x_1 = 6,\quad x_2 = 8.
x
1
=
6
,
x
2
=
8.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
Заметим, что
y
′
(
1
)
=
70
>
0
y'(1) = 70 > 0
y
′
(
1
)
=
70
>
0
.
Поэтому производная меняет знак с «+» на «–» в точке
x
=
6
x = 6
x
=
6
и с «–» на «+» в точке
x
=
8
x = 8
x
=
8
.
Значит,
x
=
8
x = 8
x
=
8
-- точка минимума функции
y
y
y
.
Ответ:
8
8
8
.
