Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с тройки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.
а) Может ли у Полины получиться число 3?
б) Может ли у Полины получиться число 13,5?
в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?
Решение
Пусть Юра задумал двузначные числа
и составил из них четырёхзначное число
xy=100x+y, где x и y -- двузначные числа.
а) Полина делит число xy на x и на y. Пусть в итоге получится 3, тогда
x⋅yxy=3,xy=3xy,100x+y=3xy;9xy−3y−300x=0;3y(3x−1)−100(3x−1)−100=0;(3y−100)(3x−1)=100. Одно из чисел x или y начинается с 3.
1) Пусть с 3 начинается y, тогда
y∈[30;39],3y∈[90;117],3y−100∈[−10;17]. Положительные числа из этого отрезка,
которые являются делителями 100, это
1, 2, 4, 5, 10.
(а) 3y−100=1,3y=101,y=3101∈/N; (б) 3y−100=2,3y=102,y=34. Подставим в уравнение:
(3y−100)(3x−1)=100;2⋅(3x−1)=100;3x−1=50;3x=51,x=17.
Значит, x=17,y=34,xy=1734,17⋅341734=3, верно.
Примечание: Если попробовать вариант,
в котором x начинается с 3, то
придём к противоречию. Пусть x начинается с 3, тогда x∈[30;39], 3x∈[90;117],3x−1∈[89;116]. Из всех чисел отрезка [89;116] делителем числа 100 является только 100.
Получим 3x−1=100, тогда
3y−100=1;3y=101;y=3101∈/N. Значит, с тройки начинается только y.
в) Найдём наибольшее возможное значение числа Полины.
x⋅y100x+y=y100+x1. Если с 3 начинается x, то
{x∈[30;39],y∈[10;99],тогда xy100x+y=y100+x1≤10100+301=10301.
Приведём пример: x=30,y=10, тогда
30⋅103010=30301=10301.
Если с 3 начинается y, то
{x∈[10;99],y∈[30;39];
xy100x+y=y100+x1≤30100+101=30103=33013, а это меньше предыдущей оценки 10301. Значит, наибольшее возможное значение 10301, пример x=30, \ y=10. б) 13,5<10301, значит, это невозможно.
