Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
7x−4⋅ln(x2−8x+17−a2)=0 имеет ровно один корень на отрезке [0;4].
Решение
Уравнение равносильно совокупности двух систем:
{7x−4=0,x2−8x+17−a2>0;(1){ln(x2−8x+17−a2)=0,7x−4⩾0.(2) (1) Из уравнения 7x−4=0 получаем x=74. Подставляем в неравенство:
(74)2−8⋅74+17−a2>0⇒4916−732+17−a2>0⇒49625−a2>0⇒⇒a2<49625⇒a∈(−725;725). Таким образом, первая система даёт корень x=74 при a∈(−725;725). Этот корень всегда лежит на отрезке [0;1].
Выясним, при каких a данный корень удовлетворяет условию 7x−4⩾0: 7(4+a)−4⩾0⇒a⩾−724. Выясним при каких a данный корень принадлежит отрезку [0;4]: 0⩽4+a⩽4⇒−4⩽a⩽0. Одновременно оба условия выполняются при a∈[−724;0]. 2) Корень x=4−a:
Выясним, при каких a данный корень удовлетворяет условию 7x−4⩾0: 7(1−a)−4⩾0⇒a⩽724. Выясним, при каких a данный корень принадлежит отрезку [0;4]: 0⩽4−a⩽4⇒0⩽a⩽4. Одновременно оба условия выполняются при a∈[0;724].
Выясним, когда полученные корни совпадают:
1) Корень x=4+a совпадает с x=74 при a=−724. При таком a значение x=4−a не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке [0;4]. 2) Корень x=4−a совпадает с x=74 при a=724. При таком a значение x=4+a не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке [0;4]. 3) Корни x=4+a и x=4−a совпадают при a=0, значит, они равны x=0. При таком a значение x=74 также является корнем, значит, a=0 нам не подходит.
Рассмотрим ситуацию, когда корни не совпадают. Один корень на отрезке [0;4] мы имеем, когда один из корней существует и лежит на отрезке [0;4], а каждый из двух других корней либо не существует, либо не принадлежит отрезку [0;4]. Получаем:
