Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 11.02.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых неравенство

|x+3a+10| + |x-3a-14| \leq 3|x|+3|x-2|

выполняется при всех значениях

x

Решение

Сделаем замену

3a + 10 = t

, тогда неравенство примет вид

|x + t| + |x - t - 4| \leq 3|x| + 3|x - 2|.

Пусть

f(x) = 3|x| + 3|x - 2|

.
Рассмотрим три случая:

а)

x < 0

y = -3x - 3(x - 2) = -6x + 6

.
б)

0 \leq x \leq 2

y = 3x - 3(x - 2) = 6

.
в)

x > 2

y = 3x + 3(x - 2) = 6x - 6

y(0) = y(2) = 6.

В итоге

f(x) = \begin{cases} -6x + 6, & \text{если } x < 0, \\ 6, & \text{если } 0 \leq x \leq 2, \\ 6x - 6, & \text{если } x > 2. \end{cases}

Графиком функции

f(x)

является «корыто» с ветвями вверх, дно которого задается прямой

y = 6

.
Пусть

g(x) = |x + t| + |x - t - 4|

.
Нули подмодульных выражений:

x = -t

x = t + 4

. Рассмотрим два случая:

а)

-t < t + 4 \Leftrightarrow t > -2

, тогда модули в функции

g(x)

раскрываются следующим образом:

x < -t

y = -x - t - x + t + 4 = -2x + 4

-t \leq x \leq t + 4

y = x + t - x + t + 4 = 2t + 4

x > t + 4

y = x + t + x - t - 4 = 2x - 4

.

В итоге

g(x) = \begin{cases} -2x + 4, & \text{если } x < -t, \\ 2t + 4, & \text{если } -t \leq x \leq t + 4, \\ 2x - 4, & \text{если } x > t + 4. \end{cases}

б)

-t \geq t + 4 \Leftrightarrow t \leq -2

, тогда модули в функции

g(x)

раскрываются следующим образом:

x < t + 4

y = -x - t - x + t + 4 = -2x + 4

t + 4 \leq x \leq -t

y = -x - t + x - t - 4 = -2t - 4

x > -t

y = x + t + x - t - 4 = 2x - 4

.

В итоге

g(x) = \begin{cases} -2x + 4, & \text{если } x < t + 4, \\ 2t + 4, & \text{если } t + 4 \leq x \leq -t, \\ 2x - 4, & \text{если } x > -t. \end{cases}

Таким образом, графиком функции

g(x)

в обоих случаях является «корыто» с ветвями вверх, дно которого задается прямой

y = |2t + 4|

и «скользит» вверх/вниз, а числа

t_1

t_2

могут быть равны либо

-t

, либо

t + 4

.
Теперь изобразим оба «корыта» в координатной плоскости

Oxy

. Чтобы неравенство выполнялось при любых

x

необходимо, чтобы каждая точка графика функции

f(x)

была не ниже графика функции

g(x)

Для этого достаточно потребовать, чтобы <<дно>> функции

f(x)

было не ниже функции

g(x)

, то есть:

|2t+4| \leq 6;

|6a+24| \leq 6;

|a+4| \leq 1;

-1 \leq a+4 \leq 1;

-5 \leq a \leq -3.

Ответ:

[-5; -3].

Похожие задачи