Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство∣x+3a+10∣+∣x−3a−14∣≤3∣x∣+3∣x−2∣выполняется при всех значениях x.
Решение
Сделаем замену 3a+10=t, тогда неравенство примет вид∣x+t∣+∣x−t−4∣≤3∣x∣+3∣x−2∣.Пусть f(x)=3∣x∣+3∣x−2∣. Рассмотрим три случая:
а) x<0:y=−3x−3(x−2)=−6x+6. б) 0≤x≤2:y=3x−3(x−2)=6. в) x>2:y=3x+3(x−2)=6x−6.y(0)=y(2)=6.В итогеf(x)=⎩⎨⎧−6x+6,6,6x−6,еслиx<0,если0≤x≤2,еслиx>2.Графиком функции f(x) является «корыто» с ветвями вверх, дно которого задается прямой y=6. Пусть g(x)=∣x+t∣+∣x−t−4∣. Нули подмодульных выражений: x=−t и x=t+4. Рассмотрим два случая:
а) −t<t+4⇔t>−2, тогда модули в функции g(x) раскрываются следующим образом:
В итогеg(x)=⎩⎨⎧−2x+4,2t+4,2x−4,еслиx<t+4,еслиt+4≤x≤−t,еслиx>−t.Таким образом, графиком функции g(x) в обоих случаях является «корыто» с ветвями вверх, дно которого задается прямой y=∣2t+4∣ и «скользит» вверх/вниз, а числа t1 и t2 могут быть равны либо −t, либо t+4. Теперь изобразим оба «корыта» в координатной плоскости Oxy. Чтобы неравенство выполнялось при любых x необходимо, чтобы каждая точка графика функции f(x) была не ниже графика функции g(x).
Для этого достаточно потребовать, чтобы <<дно>> функции f(x) было не ниже функции g(x), то есть:∣2t+4∣≤6;∣6a+24∣≤6;∣a+4∣≤1;−1≤a+4≤1;−5≤a≤−3.Ответ: [−5;−3].
