Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства
sin2x+a2+1a−(a2−2a−3)cosx+4<1 содержит отрезок [−3π;2π].
Решение
Так как знаменатель дроби sin2x+a2+1 всегда положителен, то домножим на него неравенство:
a−(a2−2a−3)cosx+4<sin2x+a2+1;a−(a2−2a−3)cosx+4−(1−cos2x)−a2−1<0;cos2x−(a2−2a−3)cosx−a2+a+2<0. Пусть cosx=t,t∈[−1;1], тогда неравенство примет вид: t2−(a2−2a−3)t−a2+a+2<0.(1) Рассмотрим функцию f(t)=t2−(a2−2a−3)t−a2+a+2. Её графиком является парабола с ветвями вверх.
Функция g(x)=cosx на промежутке [−3π;2π] принимает значения из отрезка [0;1]. Следовательно, множество решений исходного неравенства будет содержать отрезок [−3π;2π] тогда, когда множество решений неравенства (1) будет содержать отрезок [0;1].
Изобразим случай, который нам подходит:
Такое положение параболы задаётся системой:
{f(0)<0,f(1)<0;{−a2+a+2<0,1−a2+2a+3−a2+a+2<0;{a2−a−2>0,2a2−3a−6>0; ⎩⎨⎧(a+1)(a−2)>0,2(a−43+57)(a−43−57)>0;
Получаем, что a∈(−∞;43−57)∪(43+57;+∞). \par \medskip
Ответ: a∈(−∞;43−57)∪(43+57;+∞).
