Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично
пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.
Решение
а) По условию ∠ACB=90∘, следовательно, BE и AD --- диаметры большей и меньшей окружностей соответственно. Пусть O1 и O2 - центры большей и меньшей окружностей соответственно, тогда точки C,O1,O2 лежат на одной прямой.
CO1=O1D=O1A как радиусы меньшей окружности, аналогично CO2=O2B=O2E. Тогда △CO1A и △CO2E равнобедренные, значит
∠O1CA=∠O1AC=∠O2EC. Таким образом, прямые AD и BE параллельны, так как соответственные углы CAD и CEB при пересечении этих прямых прямой AE равны. Что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ACD и ECB подобны по острому углу (∠CAD=∠CEB) c коэффициентом подобия
CECA=BEAD=247⇒CA=7x,CE=24x. По условию △ABC - равнобедренный, значит CA=CB=7x Рассмотрим треугольник BCE:BE=24, тогда по теореме Пифагора:
BC2+CE2=BE2⇔49t2+576t2=576;625t2=576; t2=625576; t=2524 Следовательно,
CA=7t=257⋅24=25168.
