Найдите все значения a, при которых уравнение
cos18x−(a−2cosx)9+2cosx=a−cos2x не имеет решений.
Решение
Перепишем уравнение в виде cos18x+cos2x=(a−2cosx)9+(a−2cosx). Пусть u=cos2x,v=a−2cosx,f(t)=t9+t. Тогда получаем уравнение вида f(u)=f(v). Рассмотрим f(t)=t9+t,f′(t)=9t8+1. Функция f(t) является монотонно возрастающей, так как её производная положительна при всех t. Тогда уравнение f(u)=f(v) равносильно уравнению u=v. cos2x=a−2cosx,a=cos2x+2cosx. Пусть cosx=z,z∈[−1;1], уравнение примет вид a=z2+2z. Исходное уравнение будет иметь решения тогда, когда полученное уравнение имеет решения на отрезке z∈[−1;1]. Выделим в правой части полный квадрат: a=(z+1)2−1. Введём функцию h(z)=(z+1)2−1, её графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной (−1;−1). Заметим, что при z∈[−1;1] функция h(z) монотонно возрастает, значит, для того, чтобы у уравнения a=(z+1)2−1 были решения на промежутке [−1;1], должны выполняться следующие условия:
{a≥h(−1),a≤h(1);{a≥−1,a≤3. Таким образом, исходное уравнение имеет решение при a∈[−1;3], следовательно, решений не будет при a∈(−∞;−1)∪(3;+∞). Ответ: a∈(−∞;−1)∪(3;+∞).
