В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N. Известно, что AB=6,BC=5,AC=9.
a) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P -- точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP:PN.
Решение
а) Пусть AM∩BN=H, тогда AH -- это высота и биссектриса △ABN, значит, △ABN -- равнобедренный.
Тогда AB=AN=6,CN=9−6=3. По свойству биссектрисы: MBCM=ABAC=69=23. Пусть CM=3x,BM=2x. Тогда CB=3x+2x=5, откуда x=1. Значит, CM=3, следовательно, △CMN -- равнобедренный.
Тогда биссектриса угла C является также и медианой, то есть, делит MN пополам, ч.т.д.
б) Так как биссектриса угла C является ещё и высотой, CP -- серединный перпендикуляр к MN, тогда PM=PN. По свойству биссектрисы в △AMC:PMAP=CMAC=39=13. Следовательно, PNAP=39=13.
