1. Первый случай:{log3(3x+25)−log3(x+7)≥0,x4−81>0.Рассмотрим первое неравенство:
Оба логарифма определены, если{3x+25>0,x+7>0.⇔x>−7.Тогда преобразуем неравенство:log3(3x+25)−log3(x+7)≥0;log3(3x+25)≥log3(x+7);log3(3x+25)≥log3(x+7)2;3x+25≥x2+14x+49;x2+11x+24≤0;(x+3)(x+8)≤0.Решая методом интервалов с учётом ограничения x>−7, получим:
Теперь рассмотрим второе неравенство системы:x4−81=(x2−9)(x2+9)=(x−3)(x+3)(x2+9).Тогда неравенство примет вид:(x−3)(x+3)(x2+9)>0.Решая методом интервалов, получим:
Таким образом, пересечением решений первого и второго неравенства системы получитсяx∈(−7;−3).2. Второй случай:{log3(3x+25)−log3(x+7)≤0,x4−81<0.Рассмотрим первое неравенство:
Аналогично, оба логарифма определены, еслиx>−7.Тогда преобразуем неравенство:log3(3x+25)−log3(x+7)≤0;log3(3x+25)≤log3(x+7);log3(3x+25)≤log3(x+7)2;3x+25≤x2+14x+49;x2+11x+24≥0;(x+3)(x+8)≥0.Решая методом интервалов с учётом ограничения x>−7, получим:
Решением второго неравенства будет противоположный промежуток, который был рассмотрен в первом случае, то есть x∈(−3;3).
Таким образом, пересечением неравенств служит интервал (−3;3).
