Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{(x+ay−4)(x+ay−4a)=0,x2+y2=9 имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Первое уравнение системы в координатах Oxy задаёт пару прямых x+ay−4=0 и x+ay−4a=0. Второе уравнение задаёт окружность с центром O(0;0) радиуса 3.
Прямая и окружность имеют не более двух точек пересечения, значит, чтобы исходная система имела четыре решения, необходимо и достаточно, чтобы каждая прямая пересекала окружность ровно два раза, при этом точки пересечения не должны совпадать. Прямая и окружность имеют ровно две общие точки, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.
Расстояние от точки M(x0;y0) до прямой l:Ax+By+C=0 вычисляется по формуле:
ρ(M;l)=A2+B2∣Ax0+By0+C∣. 1) Рассмотрим прямую x+ay−4=0. Центр окружности O имеет координаты (0;0),l1:x+ay−4=0, подставим в формулу:
1+a2∣0+a⋅0−4∣<3⋅1+a2>0; 4<31+a2,1+a2>34,1+a2>916,a2>97,(a+37)(a−37)>0;
a∈(−∞;−37)∪(37;+∞). 2) Рассмотрим прямую x+ay−4a=0. Центр окружности O имеет координаты (0;0),l2:x+ay−4a=0, подставим в формулу:
1+a2∣0+a⋅0−4a∣<3⋅1+a2>0; ∣−4a∣<31+a2,16a2<9(1+a2),7a2<9,(a+73)(a−73)<0;
a∈(−73;73). 3) Рассмотрим совпадение точек пересечения. Заметим, что прямые l1 и l2 параллельны (у них равны коэффициенты при x и y). Следовательно, совпасть точки могут только при совпадении прямых: x=4−ay и x=4a−ay: 4−ay=4a−ay,4a=4,a=1. Пересечём полученные решения для случаев 1) и 2):
a∈(−73;−37)∪(37;73). Учитывая, что прямые совпадают при a=1, получаем, что:
a∈(−73;−37)∪(37;1)∪(1;73). Ответ: a∈(−73;−37)∪(37;1)∪(1;73).
