Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ФИПИ
Скопировать ссылку
31eb45d5
Решите неравенство
2
3
x
+
27
⩾
1
3
x
−
27
.
\dfrac{2}{3^x + 27} \geqslant \dfrac{1}{3^x - 27}.
3
x
+
27
2
⩾
3
x
−
27
1
.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Сделаем замену
t
=
3
x
t = 3^x
t
=
3
x
.
Неравенство примет вид:
2
t
+
27
⩾
1
t
−
27
.
\dfrac{2}{t + 27} \geqslant \dfrac{1}{t - 27}.
t
+
27
2
⩾
t
−
27
1
.
Преобразуем неравенство:
2
t
+
27
−
1
t
−
27
⩾
0
;
\dfrac{2}{t + 27} - \dfrac{1}{t - 27} \geqslant 0;
t
+
27
2
−
t
−
27
1
⩾
0
;
2
(
t
−
27
)
−
(
t
+
27
)
(
t
+
27
)
(
t
−
27
)
⩾
0
;
\dfrac{2(t - 27) - (t + 27)}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0;
(
t
+
27
)
(
t
−
27
)
2
(
t
−
27
)
−
(
t
+
27
)
⩾
0
;
2
t
−
54
−
t
−
27
(
t
+
27
)
(
t
−
27
)
⩾
0
;
\dfrac{2t - 54 - t - 27}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0;
(
t
+
27
)
(
t
−
27
)
2
t
−
54
−
t
−
27
⩾
0
;
t
−
81
(
t
+
27
)
(
t
−
27
)
⩾
0.
\dfrac{t - 81}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0.
(
t
+
27
)
(
t
−
27
)
t
−
81
⩾
0.
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Получаем:
t
∈
(
−
27
;
27
)
∪
[
81
;
+
∞
)
.
t \in (-27; 27) \cup [81; +\infty).
t
∈
(
−
27
;
27
)
∪
[
81
;
+
∞
)
.
Сделаем обратную замену:
[
−
27
<
3
x
<
27
,
3
x
⩾
81.
\left[
\begin{array}{l}
-27 < 3^x < 27, \\
3^x \geqslant 81.
\end{array}
\right.
[
−
27
<
3
x
<
27
,
3
x
⩾
81.
Решим первое неравенство совокупности:
3
x
<
27
⇔
3
x
<
3
3
⇔
x
<
3
,
3^x < 27 \;\Leftrightarrow\; 3^x < 3^3 \;\Leftrightarrow\; x < 3,
3
x
<
27
⇔
3
x
<
3
3
⇔
x
<
3
,
т.к.
3
x
>
0
3^x > 0
3
x
>
0
(выполняется всегда), значит, неравенство
−
27
<
3
x
-27 < 3^x
−
27
<
3
x
также выполняется всегда.
Решим второе неравенство:
3
x
⩾
81
⇔
3
x
⩾
3
4
⇔
x
⩾
4.
3^x \geqslant 81 \;\Leftrightarrow\; 3^x \geqslant 3^4 \;\Leftrightarrow\; x \geqslant 4.
3
x
⩾
81
⇔
3
x
⩾
3
4
⇔
x
⩾
4.
Объединяем решения:
x
∈
(
−
∞
;
3
)
∪
[
4
;
+
∞
)
x \in (-\infty; 3) \cup [4; +\infty)
x
∈
(
−
∞
;
3
)
∪
[
4
;
+
∞
)
Ответ:
(
−
∞
;
3
)
∪
[
4
;
+
∞
)
(-\infty;3) \cup [4;+\infty)
(
−
∞
;
3
)
∪
[
4
;
+
∞
)
.
