Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке P. Из параллельности оснований и равенства углов при биссектрисе получаем ∠CPD=∠CDP, значит PC=CD=26. Тогда PB=PC−BC=26−1=25. Треугольники PBM и DAM подобны, а AM=MB, поэтому AD=PB=25. Проведём CE∥AB,E∈AD. Тогда ABCE — параллелограмм: CE=AB=10,AE=BC=1. Следовательно, ED=AD−AE=24. По данным CE2+ED2=102+242=262=CD2, поэтому CE — высота трапеции. Тогда S=2AD+BC⋅CE=225+1⋅10=130.
