Найдём область допустимых значений:
⎩⎨⎧25−25x>0,x2−4x+3>0,x+7>0. Получаем:
x<1,x2−4x+3>0,x>−7. Разложим квадратный трёхчлен на множители: x2−4x+3=(x−1)(x−3).
Решить неравенство (x−1)(x−3)>0 методом интервалов.
Получаем:
⎩⎨⎧x<1,x<1илиx>3,x>−7. Итоговое ОДЗ:
x∈(−7;1). Преобразуем исходное неравенство:
log51(25−25x)<log51((x2−4x+3)(x+7)). Так как основание логарифма 51<1, логарифмическая функция убывает, значит,
25−25x>(x2−4x+3)(x+7),25−25x>(x−1)(x−3)(x+7),25−25x−(x−1)(x−3)(x+7)>0. Так как
25−25x=−25(x−1), получаем
−25(x−1)−(x−1)(x−3)(x+7)>0. Вынесем (x−1) за скобку:
(x−1)(−25−(x−3)(x+7))>0,(x−1)(−25−(x2+4x−21))>0,(x−1)(−x2−4x−4)>0. Вынесем −1: −(x−1)(x2+4x+4)>0,(x−1)(x+2)2<0. Решим это неравенство методом интервалов.
Получаем:
x∈(−∞;−2)∪(−2;1). С учётом ОДЗ получаем окончательный ответ: x∈(−7;−2)∪(−2;1).
