Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x^{2} - 5 x - 5 \left|{x - 2}\right| + 6.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x-2=0 \Rightarrow x=2

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<2

, тогда

|x-2|=-(x-2)

.
Получаем

y=x^{2} - 4

.

Случай

2

x\geqslant 2

, тогда

|x-2|=x-2

.
Получаем

y=x^{2} - 10 x + 16

.

Таким образом:

y=\begin{cases}x^{2} - 4, & x<2,\\x^{2} - 10 x + 16, & x\geqslant 2.\end{cases}

В граничной точке

x=2

проверим значения обеих формул:

y_1(2)=2^{2} - 4=0,\qquad y_2(2)=2^{2} - 10\cdot 2 + 16=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(2; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=x^{2} - 4

имеем

a=1

b=0

c=-4

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2\cdot(1)}=0.

y_0=1\cdot(0)^2+0\cdot(0)-4=-4.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0; -4)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} - 10 x + 16

имеем

a=1

b=-10

c=16

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-10}{2\cdot(1)}=5.

y_0=1\cdot(5)^2-10\cdot(5)+16=-9.

Следовательно, вершина имеет координаты

(5; -9)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{-4\} \cup\{0\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи