Постройте график функции y=x2−5x−5∣x−2∣+6. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+−2=0⇒x=2.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<2. Получаем y=x2−4.
Случай 2: x⩾2. Получаем y=x2−10x+16.
Таким образом: y={x2−4,x2−10x+16,x<2,x⩾2. Вершина левой ветви: (0;−4), вершина правой ветви: (5;−9). Таблица значений для левой ветви:
x:0,1,2 y:−4,−3,0
Таблица значений для правой ветви:
x:2,3,4,5 y:0,−5,−8,−9
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{−4}∪{0}.
