Запишем ограничения на логарифм:
{2x+22>0,x+7>0.⇔x>−7. Разложим числитель по формуле разности квадратов:
x4−81=(x2−9)(x2+9)=(x−3)(x+3)(x2+9). В знаменателе по свойству логарифма, получим:
log3(2x+22)−log3(x+7)=log3(2x+22)−log3(x+7)2. Тогда неравенство примет вид:
log3(2x+22)−log3(x+7)2(x−3)(x+3)(x2+9)≥0. Воспользуемся методом рационализации. Основание 3>1, поэтому с учётом ограничения неравенство равносильно следующему:
2x+22−(x+7)2(x−3)(x+3)(x2+9)≥0. Заметим, что множитель x2+9 всегда положителен, поэтому неравенство примет следующий вид:
2x+22−(x2+14x+49)(x−3)(x+3)≥0; −x2−12x−27(x−3)(x+3)≥0; x2+12x+27(x−3)(x+3)≤0; (x+9)(x+3)(x−3)(x+3)≤0. С помощью метода интервалов с учётом ограничения x>−7, получим:
