Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
2c9d76a4
Найдите точку максимума функции
y
=
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
⋅
e
3
−
x
y = (8x^2 - 40x + 40) \cdot e^{3 - x}
y
=
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
⋅
e
3
−
x
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Найдём производную:
y
′
=
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
′
⋅
e
3
−
x
+
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
⋅
(
e
3
−
x
)
′
=
y' = (8x^2 - 40x + 40)'\cdot e^{3 - x} + (8x^2 - 40x + 40)\cdot (e^{3 - x})' =
y
′
=
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
′
⋅
e
3
−
x
+
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
⋅
(
e
3
−
x
)
′
=
=
(
16
x
−
40
)
e
3
−
x
−
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
e
3
−
x
=
(
16
x
−
40
−
8
x
2
+
40
x
−
40
)
⋅
e
3
−
x
=
= (16x - 40)e^{3 - x} - (8x^2 - 40x + 40)e^{3 - x} = (16x - 40 - 8x^2 + 40x - 40)\cdot e^{3 - x} =
=
(
16
x
−
40
)
e
3
−
x
−
(
8
x
2
−
40
x
+
40
)
e
3
−
x
=
(
16
x
−
40
−
8
x
2
+
40
x
−
40
)
⋅
e
3
−
x
=
=
(
−
8
x
2
+
56
x
−
80
)
e
3
−
x
.
= (-8x^2 + 56x - 80)e^{3 - x}.
=
(
−
8
x
2
+
56
x
−
80
)
e
3
−
x
.
Найдём нули производной:
(
−
8
x
2
+
56
x
−
80
)
e
3
−
x
=
0
;
(-8x^2 + 56x - 80)e^{3 - x} = 0;
(
−
8
x
2
+
56
x
−
80
)
e
3
−
x
=
0
;
−
8
x
2
+
56
x
−
80
=
0
;
-8x^2 + 56x - 80 = 0;
−
8
x
2
+
56
x
−
80
=
0
;
x
2
−
7
x
+
10
=
0.
x^2 - 7x + 10 = 0.
x
2
−
7
x
+
10
=
0.
По теореме Виета получаем:
x
1
=
2
,
x
2
=
5.
x_1 = 2,\quad x_2 = 5.
x
1
=
2
,
x
2
=
5.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
Заметим, что
y
′
(
0
)
=
−
80
e
3
<
0
y'(0) = -80e^3 < 0
y
′
(
0
)
=
−
80
e
3
<
0
.
Поэтому производная меняет знак с «–» на «+» в точке
x
=
2
x = 2
x
=
2
и с «+» на «–» в точке
x
=
5
x = 5
x
=
5
.
Значит,
x
=
5
x = 5
x
=
5
-- точка максимума функции
y
y
y
.
Ответ:
5
5
5
.
