Найдите все значения a, при каждом из… — Параметры — ЕГЭ

ПараметрыСтатГрад 04.02.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система

\begin{cases} x^2+y^2=8|x-y|+8|a|, \\ x+y = a \end{cases}

имеет нечётное число различных решений.

Решение

Способ I
Если

(x_0; y_0)

является решением системы при некотором значении параметра

а

, то и

(y_0; x_0)

будет решением системы. Отсюда следует, что условие

x=y

является необходимым условием существования у системы нечетного числа решений. Таким образом,

\begin{cases} x^2+x^2 = 8|x-x| + 8|a|, \\ x+x = a \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 2x^2= 8|a|, \\ 2x =a. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2= 4|a|, \\ x =\dfrac{a}{2}. \end{cases}

Подставим из второго уравнения

x = \dfrac{a}{2}

в певрое:

\left( \frac{a}{2} \right)^2 = 4|a|; \\ a^2 = 16|a|; \\ |a|^2 - 16|a|=0; \\ |a|(|a| - 16)=0; \\\left[ \begin{gathered} |a| =0 , \\ |a| = 16. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a =0 , \\ a = \pm 16. \end{gathered} \right.

Заметим, что при решении системы было получено решение

x= \dfrac{a}{2}

, при котором система имеет единственную пару

(x_0; x_0)

. Таким образом, при

a=0

получаем пару

(0;0)

, при

a=16

пару

(8;8)

и при

a=-16

пару

(-8;-8)

.

Способ II
Подставим из второго уравнения системы значение

a= x+y

в первое:

x^2 + y^2 = 8|x-y|+8|x+y|.

Рассмотрим четыре случая:

1)

x-y \geq 0 , \ x+y \geq 0

x^2+y^2 = 8x-8y+8x+8y; \\ x^2-16x+y^2=0; \quad | + 64 \\ (x-8)^2 + y^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(8;0)

и радиусом

8

.
2)

x-y \geq 0 , \ x+y <0

x^2+y^2 = 8x-8y-8x-8y; \\ x^2+y^2+16y=0; \quad | + 64 \\ x^2 + (y+8)^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(0;-8)

и радиусом

8

.
3)

x-y < 0 , \ x+y \geq 0

x^2+y^2 = -8x+8y+8x+8y; \\ x^2+y^2-16y=0; \quad | + 64 \\ x^2 + (y-8)^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(0;8)

и радиусом

8

.
4)

x-y < 0 , \ x+y < 0

x^2+y^2 = -8x+8y-8x-8y; \\ x^2+16x+y^2=0; \quad | + 64 \\ (x+8)^2 + y^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(-8;0)

и радиусом

8

.

Таким образом, прямые

y=x

y=-x

разбивают координатную плоскость на четыре части. А рассмотренное уравнение задаёт точку

(0;0)

и четыре полуокружности в каждой части плоскости.
Второе уравнение системы задает множество прямых, параллельных прямой

y=-x

.

Построим их в координатной плоскости

Oxy

1) Положение

(I)

: прямая

y = a-x

проходит через точку

(-8;-8)

, то есть

-8 = a +8; \\ a = -16.

2) Положение

(II)

: прямая

y = a-x

проходит через точку

(0;0)

, то есть

a = 0.

3) Положение

(III)

: прямая

y = a-x

проходит через точку

(8;8)

, то есть

8 = a - 8; \\ a = 16.

Таким образом, при

a = \{-16;0;16\}

система имеет нечетное количество решений.
Способ III
Сделаем замену:

\begin{cases} m = x+y, \\ n = x-y. \end{cases}

Тогда

\begin{cases} m^2 = x^2+2xy+y^2, \\ n^2= x^2-2xy+y^2. \end{cases}

Сложив уравнения системы, получим:

m^2+n^2 = 2x^2+2y^2 \Leftrightarrow x^2+y^2 = \dfrac{m^2}{2}+ \dfrac{n^2}{2}.

Таким образом, система примет следующий вид:

\begin{cases} \dfrac{m^2}{2} + \dfrac{n^2}{2} = 8|m|+8|n|, \\ m = a. \end{cases}

Преобразуем первое уравнение системы:

m^2 +n^2 = 16|m| + 16|n|; \\ |m|^2-16|m| + |n|^2 - 16|n| = 0; \\ (|m|-8)^2+(|n|-8)^2 = 128

Данное уравнение задаёт 4 <<неполные>> окружности. Действительно, пусть

m \geq 0

n \geq 0

уравнение задаёт часть окружности в

I

четверти с центром в точке

(8;8)

и радиусом

8\sqrt{2}

. Таким образом, получаем

Положение

(I)

: прямая

m = a

проходит через точку

(0;-16)

, то есть

a = -16.

Положение

(II)

: прямая

m = a

проходит через точку

(0;0)

, то есть

a = 0.

Положение

(III)

: прямая

m = a

проходит через точку

(0;16)

, то есть

a = 16.

Таким образом, при

a = \{-16;0;16\}

система имеет нечетное количество решений.

Ответ:

\{-16;0;16 \}

ПараметрыСтатГрад 04.02.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система

\begin{cases} x^2+y^2=8|x-y|+8|a|, \\ x+y = a \end{cases}

имеет нечётное число различных решений.

Решение

Способ I
Если

(x_0; y_0)

является решением системы при некотором значении параметра

а

, то и

(y_0; x_0)

будет решением системы. Отсюда следует, что условие

x=y

является необходимым условием существования у системы нечетного числа решений. Таким образом,

\begin{cases} x^2+x^2 = 8|x-x| + 8|a|, \\ x+x = a \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 2x^2= 8|a|, \\ 2x =a. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2= 4|a|, \\ x =\dfrac{a}{2}. \end{cases}

Подставим из второго уравнения

x = \dfrac{a}{2}

в певрое:

\left( \frac{a}{2} \right)^2 = 4|a|; \\ a^2 = 16|a|; \\ |a|^2 - 16|a|=0; \\ |a|(|a| - 16)=0; \\\left[ \begin{gathered} |a| =0 , \\ |a| = 16. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a =0 , \\ a = \pm 16. \end{gathered} \right.

Заметим, что при решении системы было получено решение

x= \dfrac{a}{2}

, при котором система имеет единственную пару

(x_0; x_0)

. Таким образом, при

a=0

получаем пару

(0;0)

, при

a=16

пару

(8;8)

и при

a=-16

пару

(-8;-8)

.

Способ II
Подставим из второго уравнения системы значение

a= x+y

в первое:

x^2 + y^2 = 8|x-y|+8|x+y|.

Рассмотрим четыре случая:

1)

x-y \geq 0 , \ x+y \geq 0

x^2+y^2 = 8x-8y+8x+8y; \\ x^2-16x+y^2=0; \quad | + 64 \\ (x-8)^2 + y^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(8;0)

и радиусом

8

.
2)

x-y \geq 0 , \ x+y <0

x^2+y^2 = 8x-8y-8x-8y; \\ x^2+y^2+16y=0; \quad | + 64 \\ x^2 + (y+8)^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(0;-8)

и радиусом

8

.
3)

x-y < 0 , \ x+y \geq 0

x^2+y^2 = -8x+8y+8x+8y; \\ x^2+y^2-16y=0; \quad | + 64 \\ x^2 + (y-8)^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(0;8)

и радиусом

8

.
4)

x-y < 0 , \ x+y < 0

x^2+y^2 = -8x+8y-8x-8y; \\ x^2+16x+y^2=0; \quad | + 64 \\ (x+8)^2 + y^2=64

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке

(-8;0)

и радиусом

8

.

Таким образом, прямые

y=x

y=-x

разбивают координатную плоскость на четыре части. А рассмотренное уравнение задаёт точку

(0;0)

y=-x

.

Построим их в координатной плоскости

Oxy

1) Положение

(I)

: прямая

y = a-x

проходит через точку

(-8;-8)

, то есть

-8 = a +8; \\ a = -16.

2) Положение

(II)

: прямая

y = a-x

проходит через точку

(0;0)

, то есть

a = 0.

3) Положение

(III)

: прямая

y = a-x

проходит через точку

(8;8)

, то есть

8 = a - 8; \\ a = 16.

Таким образом, при

a = \{-16;0;16\}

система имеет нечетное количество решений.
Способ III
Сделаем замену:

\begin{cases} m = x+y, \\ n = x-y. \end{cases}

Тогда

\begin{cases} m^2 = x^2+2xy+y^2, \\ n^2= x^2-2xy+y^2. \end{cases}

Сложив уравнения системы, получим:

m^2+n^2 = 2x^2+2y^2 \Leftrightarrow x^2+y^2 = \dfrac{m^2}{2}+ \dfrac{n^2}{2}.

Таким образом, система примет следующий вид:

\begin{cases} \dfrac{m^2}{2} + \dfrac{n^2}{2} = 8|m|+8|n|, \\ m = a. \end{cases}

Преобразуем первое уравнение системы:

m^2 +n^2 = 16|m| + 16|n|; \\ |m|^2-16|m| + |n|^2 - 16|n| = 0; \\ (|m|-8)^2+(|n|-8)^2 = 128

Данное уравнение задаёт 4 <<неполные>> окружности. Действительно, пусть

m \geq 0

n \geq 0

уравнение задаёт часть окружности в

I

четверти с центром в точке

(8;8)

и радиусом

8\sqrt{2}

. Таким образом, получаем

Положение

(I)

: прямая

m = a

проходит через точку

(0;-16)

, то есть

a = -16.

Положение

(II)

: прямая

m = a

проходит через точку

(0;0)

, то есть

a = 0.

Положение

(III)

: прямая

m = a

проходит через точку

(0;16)

, то есть

a = 16.

Таким образом, при

a = \{-16;0;16\}

система имеет нечетное количество решений.

Ответ:

\{-16;0;16 \}